拉西奧娃-西科爾斯基引理

在公理集合論中，拉西奧娃-西科爾斯基引理（Rasiowa–Sikorski lemma）是力迫使用的技巧中最基本的事實之一，該引理以海倫娜·拉西奧娃（英語：Helena Rasiowa）和羅曼·西科爾斯基（英語：Roman Sikorski）為名。

引理內容

在力迫的領域中，若說偏序集 $\left(P,\leq \right)$ 的子集 $E$ 在 $P$ 中稠密，就表示對於任意的 $p\in P$ 而言，有 $e\in E$ 使得 $e\leq p$ ；而若 $D$ 是 $P$ 的稠密子集的集族，那麼在滿足以下條件的狀況下，就稱 $P$ 中的濾子 $F$ 是 $D$ －一般（英語：generic filter）的：

F\cap E\neq \emptyset ,\forall E\in D

再有這些預備知識，就可以來描述拉西奧娃－西科爾斯基引理：

設

\left(P,\leq \right)

是一個偏序集且

p\in P

，若

D

是

P

的稠密子集的可數集族，那就存在一個

P

中的

D

－一般（英語：generic filter）的濾子

F

，使得

p\in F

證明

此引理證明如下：

由於 $D$ 可數之故，因此可以將 $P$ 的子集給編號為 $D_{1},D_{2},D_{3},...$ 等等，由假設可知，存在一個 $p\in P$ ，然後由稠密性可知，存在一個 $p_{1}\leq p$ 且 $p_{1}\in D_{1}$ ，如是反覆，可得 $...\leq p_{2}\leq p_{1}\leq p$ ，其中 $p_{i}\in D_{i}$ ，因此 $G=\left\{q\in p:\exists i,q\geq p_{i}\right\}$ 是 $D$ －一般（英語：generic filter）的濾子。

可以認為拉西奧娃－西科爾斯基引理是馬丁公理較弱的版本，或說拉西奧娃-西科爾斯基引理等價於 $\operatorname {MA} (\aleph _{0})$ 。

例子

對於 $\left(P,\leq \right)=(func(X,Y),\supseteq )$ ，也就是從 $X$ 到 $Y$ 的、由包含關係定義的反向偏函數的偏序而言，若定義 $D_{x}=\left\{s\in P:x\in dom(s)\right\}$ ，那在這種狀況下，若 $X$ 可數，則拉西奧娃－西科爾斯基引理可得一個 $\left\{D_{x}:x\in X\right\}$ －一般的濾子 $F$ 及一個函數 $F:X\rightarrow Y$
假若我們使用處理 $D$ －一般的濾子的符號，那麼 $\left\{H\cup G_{0}:P_{ij}P_{t}\right\}$ 可得一個 $H$ －一般濾子（英語：generic filter）
若 $D$ 不可數，但其基數嚴格小於 $2^{\aleph _{0}}$ 且其偏序集滿足可數鏈條件，那我們可使用馬丁公理。