擴張 (度量空間)

在數學中，擴張（英語：dilation）是從度量空間 $M$ 映射到 $M$ 本身的函數 $f$ ，使得恆等式

d(f(x),f(y))=rd(x,y)

對任意 $x,y\in M$ 都成立，其中 $d(x,y)$ 是 $x$ 到 $y$ 的距離， $r$ 是正實數。 ^[1]

對於歐氏空間，這樣的擴張相當於空間的相似。 ^[2]擴張只改變對象或者說圖形的大小，而不改變其形狀。

歐氏空間的每個不是全等的擴張都有唯一的不動點^[3] ，稱為擴張中心。 ^[4]而在全等關係中，有些全等有固定點，有些則沒有。 ^[5]

參見

^ Montgomery, Richard, A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications, Mathematical Surveys and Monographs 91, American Mathematical Society, Providence, RI: 122, 2002 [2021-09-29], ISBN 0-8218-1391-9, MR 1867362, （原始內容存檔於2021-09-29） .
^ King, James R., An eye for similarity transformations, King, James R.; Schattschneider, Doris (編), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, Mathematical Association of America Notes 41, Cambridge University Press: 109–120, 1997, ISBN 9780883850992 . See in particular p. 110 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
^ Audin, Michele, Geometry, Universitext, Springer, Proposition 3.5, pp. 80–81, 2003 [2021-09-29], ISBN 9783540434986, （原始內容存檔於2021-09-29） .
^ Gorini, Catherine A., The Facts on File Geometry Handbook, Infobase Publishing: 49, 2009 [2021-09-29], ISBN 9781438109572, （原始內容存檔於2021-09-29） .
^ Carstensen, Celine; Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard, Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry and Cryptography, Walter de Gruyter: 140, 2011 [2021-09-29], ISBN 9783110250091, （原始內容存檔於2021-09-29） .