德布魯因-紐曼常數

德布魯因-紐曼常數（De Bruijn–Newman constant）是一個以特定函數H(λ, z)的零點特性有關的數學常數，用Λ來表示。函數表示式中的λ為實數的參數，而z為複數變數。H有實數根若且唯若λ ≥ Λ。此常數和有關黎曼ζ函數零點的黎曼猜想密切相關，簡單來說，黎曼猜想就是Λ ≤ 0的猜想。

年份	Λ的下界
1988	−50
1991	−5
1990	−0.385
1994	−4.379×10−6
1993	−5.895×10−9
2000	−2.7×10−9
2011	−1.1×10−12

由於$H(\lambda ,z)$是$F(e^{\lambda x}\Phi )$的傅里葉變換，有以下維納-霍普夫表示式：

$\xi \left({\frac {1}{2}}+iz\right)=A{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}}H(\lambda ,x)\,dx$

上式只在λ為正或0時有效，在極限中λ趨近於0，而$H(0,x)=\xi \left({\frac {1}{2}}+ix\right)$。若λ為負值時H定義如下：

$H(z,\lambda )=B{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}}\xi \left({\frac {1}{2}}+ix\right)\,dx$

其中A和B都是常數。

參考資料

• Csordas, G.; Odlyzko, A.M.; Smith, W.; Varga, R.S. A new Lehmer pair of zeros and a new lower bound for the De Bruijn–Newman constant Lambda (pdf). Electronic Transactions on Numerical Analysis. 1993, 1: 104–111 [June 1, 2012]. Zbl 0807.11059. （原始內容存檔 (PDF)於2021-08-19）. 
• de Bruijn, N.G. The Roots of Triginometric Integrals. Duke Math. J. 1950, 17: 197–226. Zbl 0038.23302. 
• Newman, C.M. Fourier Transforms with only Real Zeros. Proc. Amer. Math. Soc. 1976, 61: 245–251. Zbl 0342.42007. 
• Odlyzko, A.M. An improved bound for the de Bruijn–Newman constant. Numerical Algorithms. 2000, 25: 293–303. Zbl 0967.11034. 

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. de Bruijn–Newman Constant. MathWorld.