開爾文函數

開爾文函數有兩類，得名自開爾文勳爵。 第一類 $ber_{v}(x)$,$bei_{v}(x)$

第二類 $ker_{v}(x)$,$kei_{v}(x)$

第一類開爾文函數

Kelvin Ber(v,z) function

Kelvin Bei(v,z) function

$ber_{v}(x)=Re(J_{\nu }\left(xe^{\frac {3\pi i}{4}}\right))$

其中$Re(f)$代表$f$的實數部分，$J_{\nu }$是第一類貝塞爾函數。

$ber_{v}(x)=Im(J_{\nu }\left(xe^{\frac {3\pi i}{4}}\right))$

其中$Im(f)$代表$f$的虛數部分。

$\mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}$

$\mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}$

其中n為整數，上式分母的$\Gamma$是Γ函數。

第二類開爾文函數

Kelvin Ker(v,z) function

Kelvin Kei(v,z) function

$Ker_{v}(x)=Re(K_{\nu }\left(xe^{\frac {\pi i}{4}}\right))$

$Kei_{v}(x)=Im(K_{\nu }\left(xe^{\frac {\pi i}{4}}\right))$ 其中$K_{\nu }$是第二類修正貝塞爾函數。

${\begin{aligned}\mathrm {ker} _{n}(x)&=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} _{n}(x)\\&\qquad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {kei} _{n}(x)&=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} _{n}(x)\\&\qquad -{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}$

上式的$\psi$是雙伽瑪函數。

參考文獻

• Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 [2015-01-24], ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248, （原始內容存檔於2013-07-03）