康托展開

康托展開是一個全排列到一個自然數的雙射，常用於構建哈希表時的空間壓縮。 康托展開的實質是計算當前排列在所有由小到大全排列中的順序，因此是可逆的。

以下稱第x個全排列都是指由小到大的順序。

公式

$X=a_{n}(n-1)!+a_{n-1}(n-2)!+\cdots +a_{1}\cdot 0!$

其中,$a_{i}$為整數,並且$0\leq a_{i}<i,1\leq i\leq n$。

$a_{i}$的意義參見舉例中的解釋部分

舉例

例如，3 5 7 4 1 2 9 6 8 展開為 98884。因為X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解釋：

排列的第一位是3，比3小的數有兩個，以這樣的數開始的排列有8!個，因此第一項為2*8!

排列的第二位是5，比5小的數有1、2、3、4，由於3已經出現，因此共有3個比5小的數，這樣的排列有7!個，因此第二項為3*7!

以此類推，直至0*0!

用途

顯然，n位（0~n-1）全排列後，其康托展開唯一且最大約為n!，因此可以由更小的空間來儲存這些排列。由公式可將X逆推出唯一的一個排列。

康托展開的逆運算

既然康托展開是一個雙射，那麼一定可以通過康托展開值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

如n=5,x=96時：

首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1)
用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.
用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.
用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.
用1去除1!得到1余0，这一位是2.
最后一位只能是1.
所以这个数是45321.

按以上方法可以得出通用的算法。

參考文獻

1. Thomas H. Cormen (EDT),Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. Introduction to Algorithms,Third Edition. USA: The MIT Press. ISBN 978-0-262-03384-8 （英語）.