廣群

此條目介紹的是範疇論中的廣群。關於具有單一二元運算的代數結構，請見「原群」。

在數學中，尤其在範疇論和同倫論中，廣群（groupoid，或勃蘭特廣群，Brandt groupoid）是對群的概念的抽象化。廣群可被視為：

• 以偏函數取代二元運算的群；
• 所有態射都可逆的範疇。這一類範疇可被視作增加了一種一元運算，與群論中的逆元相對應。 只有一個對象的廣群一般是群。

在存在依賴類型的情況下，一般來說，一個範疇可視作是類型化的幺半群；廣群也可簡單視作類型化的群。對象到對象的態射形成類型的依賴族，於是態射可以是類型化的$g:A\rightarrow B$、$h:B\rightarrow C$。於是組合是全函數：$\circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C$，於是$h\circ g:A\rightarrow C$。

廣群的特例包括：

• 集合體（Setoid），即帶有等價關係的集合；
• G-集合，即帶有G 的作用的集合。

廣群常用於研究流形等幾何物體。廣群最先由海因里希·勃蘭特於1927年引入，其思想暗含在勃蘭特半群的概念中。

定義

廣群指的是代數結構$(G,\ast )$，包含非空集G與定義在G上的二元偏函數'$\ast$'。

代數定義

廣群是具備一元運算${}^{-1}:G\to G,$與偏函數$*:G\times G\rightharpoonup G$的集合G，當中的*不是二元運算，因為其不一定定義在G中所有的元素對上。這裡不闡述定義*的確切條件，這些條件因情況而異。

運算*、⁻¹有以下公理性質：$\forall a,\ b,\ c\in G$：

1. 結合律：若定義了$a*b,\ b*c$，則$(a*b)*c=a*(b*c)$。
2. 逆元：$a^{-1}*a$、$a*{a^{-1}}$總有定義。
3. 單位元：若定義了$a*b$，則$a*b*{b^{-1}}=a;\ {a^{-1}}*a*b=b$。（由前兩條性質可推知。）

從中可得到兩個簡單方便的性質：

• $(a^{-1})^{-1}=a$；
• 若定義了$a*b$，則$(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$。

範疇論定義

廣群是小範疇，其中每個態射都可逆，即是同構。更明確地說，廣群G是對象集合$G_{0}$，其中

• 每對對象x、y，都有從x到y的態射（或箭頭）的（可能是空）集合$G(x,\ y)$，其中的元素寫作$f:\ x\to y;$
• 每個對象x，$G(x,\ x)$的指定元素$\mathrm {id} _{x};$
• 對任意三個元素x、y、z都有函數$\mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf;$
• 對任意兩個元素x、y都有函數$\mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1},\ \forall f:\ x\to y,\ g:\ y\to z,\ h:\ z\to w;$
  • $f\ \mathrm {id} _{x}=f$、$\mathrm {id} _{y}\ f=f;$
  • $(hg)f=h(gf);$
  • $ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}$、$f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}.$

若$f\in G(x,\ y)$則稱x為f的源，記作$s(f)$；y稱作f的目標，記作$t(f)$。廣群G有時記作$G_{1}\rightrightarrows G_{0}$，當中$G_{1}$是所有態射的集合，兩個箭頭$G_{1}\to G_{0}$代表源和目標。

更一般地，可以考慮任意範疇中的廣群對象，其允許有限的纖維積。

定義比較

代數定義與範疇論定義等價，下面證明。給定範疇論定義廣群，令G為所有集合$G(x,\ y)$的不交並（即x到y的態射的集合）；則$\mathrm {comp}$、$\mathrm {inv}$就成了G上的偏運算，而$\mathrm {inv}$事實上在任意地方都可被定義。我們定義*為$\mathrm {comp}$、⁻¹為$\mathrm {inv}$，這樣就得到了代數定義的廣群。可以不再明確提及$G_{0}$（及$\mathrm {id}$）。

反過來，給定代數定義的廣群G，用$\sim$定義其元素上的等價關係： $a\sim b$，若$a*a^{-1}=b*b^{-1}.$令G₀為$\sim$的等價類集合，即$G_{0}:=G/\!\!\sim$。若$a\in G$且$x\in G_{0}$，用$1_{x}$記a ∗ a⁻¹。

現在定義$G(x,y)$為所有使$1_{x}*f*1_{y}$存在的f的集合。給定$f\in G(x,y),\ g\in G(y,z),$其組合定義為$gf:=f*g\in G(x,z).$這是良定義的，因為可觀察到$(1_{x}*f)*1_{y}$、$1_{y}*(g*1_{z})$都存在，$(1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g$也存在。這樣，x的恆等態射就是$1_{x}$，f的範疇論逆是f⁻¹。

上述定義中的集合可用類代替，這在範疇論中很常見。

頂點群與軌道

給定廣群G，其中的頂點群或迷向群或軌道群是$G(x,\ x)(x\in G)$的子群。從上述公理不難看出，它們確實是群，因為每對元素都可組合，且逆元都在同一個群中。

廣群G在點$x\in X$處的軌道由集合$s(t^{-1}(x))\subseteq X$給出，當中包含了可用G中的態射連接到x的每個點。若x、y兩點在相同的軌道上，則它們的頂點群G(x)、G(y)群同構：若$f:\ x\to y$，則同構由$g\to fgf^{-1}$給出。

軌道構成了集合X的一部分。若廣群只有一個軌道（等價地是連通的），則稱之為傳遞的。那麼，所有頂點群都同構（另一方面，這不是傳遞性的充分條件，反例下詳）。

子廣群與態射

$G\rightrightarrows X$的子廣群是子範疇$H\rightrightarrows Y$，其本身是一個廣群。若它是寬或滿的子範疇，即$\forall x,y\in Y$都有$X=Y$或$G(x,y)=H(x,y)$，則也稱其為寬或滿。

廣群映射簡單說就是兩個（範疇論）廣群間的函子。

有幾種特殊的廣群態射值得關注。若$\forall x\in E,\ \forall b\in B:\ p(x)\to ,$都有$e\in E:\ x\to$，使得$p(e)=b$，則廣群的態射$p:E\to B$稱作纖維化。若這樣的e是唯一的，則纖維化稱作覆蓋態射或廣群的覆蓋。廣群的覆蓋態射很有用，可用來模擬空間的覆蓋映射。 同樣，給點廣群B的覆蓋態射範疇，等同於廣群B對對集合的作用範疇。

例子

拓撲

主條目：基本廣群

給定拓撲空間X，令$G_{0}$為集合X。從點p到點q的態射是p到q的連續路徑的等價類，若兩條路徑同倫，就稱它們等價。 先沿第一條路徑，再沿第二條路徑，兩個這樣的態射便組合到一起；同倫等價性保證這種組符合結合律。這樣的廣群稱作X的基本廣群，記作$\pi _{1}(X)$（有時是$\Pi _{1}(X)$）。通常的基本群$\pi _{1}(X,x)$於是就是點x的頂點群。

基本廣群$\pi _{1}(X)$的軌道是X的路徑連通成分。相應地，路徑連通空間的基本廣群是傳遞的，我們恢復了已知的事實，即任意基點上的基本群是同構的。此外，基本廣群和基本群這時作為範疇是等價的（一般理論見下文）。

這一思想的重要推廣是考慮基本廣群$\pi _{1}(X,A)$，其中$A\subset X$是選定的基點集合。當中$\pi _{1}(X,A)$是$\pi _{1}(X)$的（寬）子廣群，這裡只考慮端點屬於A的路徑。集合A可據當前情況的幾何形狀來選擇。

等價關係

若X是集合體，即具有等價關係$\sim$的集合，則「表示」這等價關係的廣群可由如下構成：

• 廣群對象是X的元素；
• $\forall x,\ y\in X,$有單態射$(y,x):\ x\to y$，當且僅當$x\sim y$；
• $(z,y)$與$(y,x)$的組合是$(z,x)$。

這個廣群的頂點群總是平凡的；此外，這個廣群一般不傳遞，其軌道正是等價類。有兩個極端例子：

• X每個元素若都與X的其他元素有聯繫，則就得到了X的對廣群，其以整個$X\times X$作為箭頭集，且是傳遞的。
• X每個元素若只與自身有關係，就得到了單位廣群，其以X為箭頭集，$s=t=id_{X}$，是完全不傳遞的（每個單子$\{x\}$都是軌道）。

例子

• 若$f:X_{0}\to Y$是光滑流形的光滑滿射浸沒，則$X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}$是等價關係，因為在拓撲空間的滿射下，Y與$X_{0}$的商拓撲拓撲同構。若記$X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}$則可得廣群

  $X_{1}\rightrightarrows X_{0}$

  有時稱為光滑流形的滿射浸沒的平庸廣群。
• 若放寬自反性要求、考慮偏等價關係，則就可考慮關於集合的可計算實現子上的半可決定概念。這使得廣群可用於集合論的可計算近似，稱作PER模型。作為一個範疇，PER模型是具有自然數對象與子對象分類子的笛卡兒閉範疇，從而產生了馬丁·海蘭德所謂有效拓撲斯。

切赫廣群

參見：單純流形和神經復形

切赫廣群是一類特殊的廣群，與某個流形X的開覆蓋${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$所給出的等價關係相關聯。其對象由不交並

${\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}$

給出，其箭頭是相交

${\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}$.

源映射與目標映射由誘導映射給出

${\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}$

包含映射

$\varepsilon :U_{i}\to U_{ii}$

則給出了廣群的結構。實際上，還可設置

${\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}$

為n次迭代的纖維積來進一步擴展，其中${\mathcal {G}}_{n}$表示n個可組合箭頭的多元組。纖維積的結構映射隱含了目標映射，因為

${\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}$

是笛卡兒圖，其中到$U_{i}$的映射是目標映射。這種構造可看作是某些∞-廣群的模型；此外，這種構造的另一個產物是k-上循環

$[\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})$

對某個阿貝爾群之常數層可表為函數

$\sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A$

給出了上同調類的明確表示。

群作用

若群G作用於集合X，則可由如下方式組成代表群作用的作用廣群或變換廣群：

• 對象是X的元素；
• $\forall x,\ y\in X$，態射$x\to y$對應$g\in G$，使得$gx=y$；
• 態射的複合解釋了G的二元運算。

更明確地說，作用廣群是小範疇$\mathrm {ob} (C)=X$、$\mathrm {hom} (C)=G\times X$，源映射和目標映射分別為$s(g,x)=x$、$t(g,x)=gx$。通常表示為$G\ltimes X$（對於右作用記為$X\rtimes G$）。廣群中的乘法（或組合）就是$(h,y)(g,x)=(hg,x)$，定義條件是$y=gx$。

$\forall x\in X$，頂點群由$gx=x$的$(g,x)$組成，這只是給定作用在x處的迷向子群（這就是頂點群稱為迷向子群的原因）。同樣，作用廣群的軌道是群作用的軌道，廣群是傳遞的當且僅當群作用也有傳遞性。

另一種描述G集合的方法是函子範疇$[\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]$，當中$\mathrm {Gr}$是1個元素的廣群（範疇），同構於群G。事實上，這個範疇的每個函子F都定義了集合$X=F(\mathrm {Gr} );\ \forall g\in G$（即對$\mathrm {Gr}$中的每個態射）誘導了雙射$F_{g}$：$X\to X$。函子F的範疇結構保證了F定義了集合G上的G作用。（唯一）可表函子F：$\mathrm {Gr} \to \mathrm {Set}$是G的凱萊表示。事實上，這個函子與$\mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)$同構，因此將$\mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )$送到集合$\mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )$，後者的定義就是「集合」G和$\mathrm {Gr}$的態射g（即G的元素g）到集合G的置換$F_{g}$。由米田嵌入推導出：群G同構於G的置換群的子群$\{F_{g}\mid g\in G\}$。

有限集

考慮$\mathbb {Z} /2$在有限集$X=\{-2,-1,0,1,2\}$上的群作用，其將每個數取負，於是$-2\mapsto 2$、$1\mapsto -1$。商廣群$[X/G]$是這個群作用的等價類集合$\{[0],[1],[2]\}$，$[0]$在其上有群作用$\mathbb {Z} /2$。

商簇

任何映射到$GL(n)$的有限群G都會在仿射空間$\mathbb {A} ^{n}$上產生群作用（由於這是自同構群）。於是，商廣群的形式可以是$[\mathbb {A} ^{n}/G]$，有一點的穩定子G位於原點。這樣的例子構成了軌形理論的基礎。另一個常研究的軌形族是加權射影空間$\mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})$及其子空間，如卡拉比-丘軌形。

廣群的纖維積

給定具有廣群態射的廣群圖

${\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}$

其中$f:X\to Z$、$g:Y\to Z$，可組成廣群$X\times _{Z}Y$，其對象為三元組$(x,\phi ,y)$，其中$x\in {\text{Ob}}(X),\ y\in {\text{Ob}}(Y),\ \phi :f(x)\to g(y),\ \in Z$。態射可定義為一對態射$(\alpha ,\beta )$，其中$\alpha :x\to x',\ \beta :y\to y'$，使得對三元組$(x,\phi ,y),(x',\phi ',y'),\ Z$中有$f(\alpha ):f(x)\to f(x'),\ g(\beta ):g(y)\to g(y'),\ \phi ,\phi '$的交換圖。

同調代數

具體阿貝爾範疇中對象的二項復形

$C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}$

可形成廣群。其對象是集合$C_{0}$，箭頭是集合$C_{1}\oplus C_{0}$；源映射只是到$C_{0}$的映射，目標映射是對$C_{1}$與d的組合跟到$C_{0}$的映射的加法。也就是說，給定$c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}$，有

$t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.$

當然，若阿貝爾範疇是概形上的凝聚層範疇，則這種構造可用於形成廣群的預層。

遊戲

魔方可用群論來建模（見魔方群），也有些遊戲更適合用廣群建模。

數字推盤遊戲的變換就是廣群（不是群，因為並非所有移動都能複合）。這一廣群作用作用於構型。

馬蒂厄廣群

馬蒂厄廣群是約翰·何頓·康威提出的作用於13個點的群，這樣固定一個點的元素就構成了馬蒂厄群M₁₂的一個副本。

與群的關係

類似群的結構
	完全性	結合律	單位元	除法
群	是	是	是	是
幺半群	是	是	是	否
半群	是	是	否	否
環群	是	否	是	是
擬群	是	否	否	是
原群	是	否	否	否
廣群	否	是	是	是
範疇	否	是	是	否

若廣群只有一個對象，則其態射集構成群。由代數定義，這樣的廣群實際上就是群。 群論的許多概念都能推廣到廣群，用函子概念取代群同態。

每個傳遞/連通的廣群（即如上所述，任意兩對象都由至少一個態射相連）都與作用廣群（如上定義）$(G,X)$同構。根據傳遞性，這個作用下只有一個軌道。

注意剛才提到的同構不唯一，也沒有自然的選擇。為一個傳遞廣群選擇這樣的同構實際上等於選擇對象$x_{0}$、群同構$h:\ G(x_{0})\to G$、$\forall x\neq x_{0},\$態射$\in G:\ x_{0}\to x$。

若廣群沒有傳遞性，則就同構於上述類型的廣群的不交並，也稱作其連通成分（每個連通成分可能具有不同的群G與集合X）。

用範疇論的術語來說，廣群的每個連通成分都等價（但不同構）於只有1個對象的廣群，即單群。因此，任何廣群都等價於無關群的多重集；換句話說，對等價（而非同構），我們不需要指定集合X，而只需指定群G。例如，

• X的基本廣群等價於X的每個路徑連通成分的基本群的集合，但同構要指定每個成分的點集；
• 具有等價關係$\sim$的集合X等價（作為廣群）於每個等價類的平凡群的一個副本，但同構需要說明每個等價類；
• 具備群G的作用的集合X等價（作為廣群）於作用的每個軌道的G的一個副本，但同構需要說明每個軌道是什麼集合。

即使從範疇論的角度來看，把廣群坍縮為單純的群集合也會失去一些信息，因為是不自然的。因此，當廣群以其他結構出現時，保持整個廣群是有幫助的；否則就必須選擇一種方法，以從單群的角度看待每個$G(x)$，而這一選擇是任意的。在拓撲學的例子中，必須連貫地選擇路徑（或路徑的等價類），從相同路徑連通成分的每個p點到每個q點。

一個更有啟發性的例子是，有自同態的廣群的分類並不能歸結為單純的群論考慮。這類似於有一個自同態的向量空間的分類並不平凡。

廣群的態射比群的更多樣：例如，有纖維化、覆蓋態射、泛態射、商態射。因此，群G的子群H會產生『』G對G中H的陪集集的作用，從而產生K到G的覆蓋態射p，其中K是頂點群與H同構的廣群。這樣，群G的表示就可以「提升」到廣群K的表示，這是獲取子群H的表現信息的有用方法。

廣群範疇

對象是廣群、態射是廣群態射的範疇稱作廣群範疇，記作Grpd。

Grpd與小範疇相似，是笛卡兒閉範疇：對任意廣群$H,K$，我們都可以構造廣群$\operatorname {GPD} (H,K)$，其對象是態射$H\to K$、箭頭是態射的自然等價。於是，若$H,K$只是群，則這些箭頭就是態射的共軛。主要結果是，對任何廣群$G,H,K$都有自然雙射

$\operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).$

即使所有廣群$G,H,K$都只是群，這個結果也有意義。

Grpd既是完全範疇，又是余完全範疇。

與Cat的關係

包含態射$i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat}$有左右伴隨函子：

$\hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))$

$\hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))$

當中，$C[C^{-1}]$表示反轉每個態射的範疇局部化，$\mathrm {Core} (C)$表示所有同構的子範疇。

與sSet的關係

神經函子$N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet}$將Grpd嵌入為單純集範疇的子範疇。廣群的神經總是闞復形。

神經有左伴隨

$\hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))$

當中$\pi _{1}(X)$表示單純集X的基本廣群。

Grpd中的廣群

主條目：雙重廣群

廣群範疇內部的範疇還可派生一種額外結構，即雙重廣群。因為Grpd是2範疇，這些對象構成了2範疇，比1範疇有額外的結構。本質上說，這些對象是具有函子

$s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}$

的廣群${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}$，以及由恆等函子

$i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}$

給出的嵌入。思考這些2廣群的一種方法是其包含對象、態射與可以縱橫組合的方塊。例如，給定方塊

${\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}$與${\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}$

其中$a$是同一個態射，則可以垂直相連，得到圖

${\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}$

可將垂直箭頭轉置，得到另一個方塊。方塊的橫向連接也有類似規律。

具有幾何結構的廣群

研究幾何對象時，產生的廣群通常帶有拓撲，使其成為拓撲廣群；一些微分結構還能將其變為李廣群。最後這些對象也可根據其相關的李代數胚進行研究，這與李群和李代數之間的關係類似。

從幾何產生的廣群通常具有與群乘法相互作用的結構。例如，泊松幾何中有辛廣群的概念，後者是具有相容辛形式的李廣群。同樣，也可擁有具備相容黎曼度量或複流形等結構的廣群。

另見

• ∞-廣群
• 2-群
• 同倫類型論

參考文獻

• Brandt, H, Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes, Mathematische Annalen, 1927, 96 (1): 360–366, S2CID 119597988, doi:10.1007/BF01209171 
• Brown, Ronald, 1987, "From groups to groupoids: a brief survey （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）," Bull. London Math. Soc. 19: 113–34. Reviews the history of groupoids up to 1987, starting with the work of Brandt on quadratic forms. The downloadable version updates the many references.
• —, 2006. Topology and groupoids. Booksurge. Revised and extended edition of a book previously published in 1968 and 1988. Groupoids are introduced in the context of their topological application.
• —, Higher dimensional group theory. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Explains how the groupoid concept has led to higher-dimensional homotopy groupoids, having applications in homotopy theory and in group cohomology. Many references.
• Dicks, Warren; Ventura, Enric, The group fixed by a family of injective endomorphisms of a free group, Mathematical Surveys and Monographs 195, AMS Bookstore, 1996, ISBN 978-0-8218-0564-0 
• Dokuchaev, M.; Exel, R.; Piccione, P. Partial Representations and Partial Group Algebras. Journal of Algebra (Elsevier). 2000, 226: 505–532. ISSN 0021-8693. S2CID 14622598. arXiv:math/9903129 . doi:10.1006/jabr.1999.8204. 
• F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Galois theories. Cambridge Univ. Press. Shows how generalisations of Galois theory lead to Galois groupoids.
• Cannas da Silva, A., and A. Weinstein, Geometric Models for Noncommutative Algebras. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Especially Part VI.
• Golubitsky, M., Ian Stewart, 2006, "Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", Bull. Amer. Math. Soc. 43: 305-64
• Hazewinkel, Michiel (編), Groupoid, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Higgins, P. J., "The fundamental groupoid of a graph of groups", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145–149.
• Higgins, P. J. and Taylor, J., "The fundamental groupoid and the homotopy crossed complex of an orbit space", in Category theory (Gummersbach, 1981), Lecture Notes in Math., Volume 962. Springer, Berlin (1982), 115–122.
• Higgins, P. J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand Notes in Mathematics. Republished in Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 7 (2005) pp. 1–195; freely downloadable （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Substantial introduction to category theory with special emphasis on groupoids. Presents applications of groupoids in group theory, for example to a generalisation of Grushko's theorem, and in topology, e.g. fundamental groupoid.
• Mackenzie, K. C. H., 2005. General theory of Lie groupoids and Lie algebroids. Cambridge Univ. Press.
• Weinstein, Alan, "Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour through some examples. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" Also available in Postscript. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Notices of the AMS, July 1996, pp. 744–752.
• Weinstein, Alan, "The Geometry of Momentum （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" (2002)
• R.T. Zivaljevic. "Groupoids in combinatorics—applications of a theory of local symmetries". In Algebraic and geometric combinatorics, volume 423 of Contemp. Math., 305–324. Amer. Math. Soc., Providence, RI (2006)
• nLab的fundamental groupoid條目
• nLab的core條目