幾何變換

幾何變換（geometric transformation）是指從具有幾何結構之集合至其自身或其他此類集合的一種對射。具體來說，「幾何變換是一個函數，其定義域與值域為點集合。幾何變換最常見的定義域與值域為同時為R²，或同時為R³。其他的幾何變換則要求須為一對一函數，使之有反函數^[1]。」可透過研究這些變換的方法來研究幾何^[2]。

幾何變換可以其操作集合的維度來分類（因此可分類出平面變換與空間變換等）。幾何變換亦可依據其保留其性質來分類：

位移保留距離與方向角度；
等距同構保留距離與角度^[3]；
相似保留距離間的比例；
仿射變換保留平行^[3]；
投影變換保留共線性^[4]；

以上每種變換均包含前一種變換^[4]。

反演在平面上保留所有線及圓所組成的集合（但可能替換線與圓），而莫比烏斯變換則保留三維空間內的所有平面與球。

以法國地圖為例：

微分同胚為一階仿射的變換；前面所有變換都是微分同胚的特例^[5]。

共形變換保留角度在一階的相似。

保積變換保留在平面上的面積，或在三維空間上的容量^[6]。該變換為行列式為1的一階仿射變換。

同胚保留點的鄰域。

相同類型的群變換可能是其他變換群的子群。

另見

參考資料

^ Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, Elena Marchisotto – Mathematics for High School Teachers: An Advanced Perspective, page 84.
^ Venema, Gerard A., Foundations of Geometry, Pearson Prentice Hall: 285, 2006, ISBN 9780131437005
^ ^3.0 ^3.1 幾何變換，第131頁，載於Google圖書
^ ^4.0 ^4.1 Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – 幾何變換，第182頁，載於Google圖書
^ stevecheng. first fundamental form (PDF). planetmath.org. 2013-03-13 [2014-10-01]. （原始內容存檔 (PDF)於2014-07-14）.
^ 幾何變換，第191頁，載於Google圖書 Bruce E. Meserve – Fundamental Concepts of Geometry, page 191.]

[1] Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, Elena Marchisotto – Mathematics for High School Teachers: An Advanced Perspective, page 84.

[2] Venema, Gerard A., Foundations of Geometry, Pearson Prentice Hall: 285, 2006, ISBN 9780131437005

[Berger-3] 3.0 ^3.1 幾何變換，第131頁，載於Google圖書

[Wilkinson-4] 4.0 ^4.1 Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – 幾何變換，第182頁，載於Google圖書

[5] stevecheng. first fundamental form (PDF). planetmath.org. 2013-03-13 [2014-10-01]. （原始內容存檔 (PDF)於2014-07-14）.

[6] 幾何變換，第191頁，載於Google圖書 Bruce E. Meserve – Fundamental Concepts of Geometry, page 191.]

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