帕斯卡蝸線

帕斯卡蝸線（法語：Limaçon de Pascal），或直接稱作蝸線，是一種平面曲線，若平面上有一直徑為$a$的圓，從圓周上任意一定點$O$引射線$OS$，交圓於點$Q$。在$OS$上，從點$Q$分別向兩側截取長度為b的線段$QP_{1}$和$QP_{2}$,當射線$OS$繞定點O旋轉時，點P1、P2所形成的軌跡就叫做帕斯卡蝸線。帕斯卡蝸線的形狀隨${\frac {a}{b}}$的值而變化，有時候是心臟線，有時候有內外兩支，類似蝸牛殼，故被稱作「limaçon」，這個詞的本義是「小蝸牛」，源於拉丁語的 「limax」。

歷史

丟勒所畫出的蝸線

數學家布萊茲·帕斯卡的父親，艾蒂安·帕斯卡（Étienne Pascal）也是一位數學愛好者，他曾於1637年在一封信中提到了自己對蝸線的研究。吉爾·羅伯瓦（Gilles de Roberval）曾用蝸線求過曲線的切線，和三等分角，他將該曲線稱之為帕斯卡蝸線。科學史研究者認為艾蒂安·帕斯卡之前一百餘年的德國畫家阿爾布雷希特·丟勒就曾對這一曲線進行過研究，在他1525年出版的《量度藝術教程》一書中，丟勒給出了蝸線的畫法。

方程

以定點O為極點，則帕斯卡蝸線的極坐標方程如下：

$r=b+a\cos \theta \ .$

其中$a$為給定圓的直徑，$b$為Q點向兩側所截取的定長。

通過極坐標系和直角坐標系的轉換關係，可得到平面直角坐標系下的方程：

$(x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=b^{2}(x^{2}+y^{2}).\,$

需注意此時的方程是以定點O為原點的，若以給定圓的圓心為原點，則方程不同。

如果使用參數方程表示：

$x={a \over 2}+b\cos \theta +{a \over 2}\cos 2\theta ,\,y=b\sin \theta +{a \over 2}\sin 2\theta .$

可以轉換為在複平面里的表達式：

$z={a \over 2}+be^{i\theta }+{a \over 2}e^{2i\theta }.$

帕斯卡蝸線的不同形態

三種帕斯卡蝸線

• ${\frac {a}{b}}<1$：蝸線沒有繞扣和尖點。
• ${\frac {a}{b}}=1$：蝸線帶有尖點，此時方程變為：
  • $r=b(1+\cos \theta )=2b\cos ^{2}{\theta \over 2}$ or $r^{1 \over 2}=(2b)^{1 \over 2}\cos {\theta \over 2}$，即心臟線。
• ${\frac {a}{b}}>1$：蝸線帶有繞扣，形成內外兩圈。
• ${\frac {a}{b}}=2$：此時方程變為：
  • $r=b(1+2\cos \theta )$, 通過適當的平移之後可以得到
  • $r=2b\cos {\theta \over 3}$

這屬於玫瑰線一類，被稱為帕斯卡三等分角線（Limaçon trisectrix）。

• ${\frac {a}{b}}>>1$: 隨着${\frac {a}{b}}$的值的進一步增大，帕斯卡蝸線的內圈和外圈逐漸接近，趨向於同一個圓。

所圍面積

帕斯卡蝸線所圍的面積為$(b^{2}+{{a^{2}} \over 2})\pi$，但要注意當$b<a$ 此處的面積為外圈所圍的面積$(b^{2}+{{a^{2}} \over 2})(\pi -\arccos {b \over a})+{3 \over 2}b{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}$+內圈所圍的面積$(b^{2}+{{a^{2}} \over 2})\arccos {b \over a}-{3 \over 2}b{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}$，或者可以認為是兩圈之間的面積$(b^{2}+{{a^{2}} \over 2})(\pi -2\arccos {b \over a})+3b{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}.$+兩倍的內圈面積所得。

和其他曲線的關係

帕斯卡蝸線是圓的垂足曲線的演示

• 若平面上有兩個點O和P，則以O為圓心，且過P點的所有圓的包絡線是帕斯卡蝸線。

• 若給定一個圓和一點P，則從P點向圓的任何一條切線所作垂線的垂足形成的垂足曲線是帕斯卡蝸線。

• 圓錐曲線的反演變換結果是帕斯卡蝸線，三種不同的圓錐曲線正好對應帕斯卡蝸線的三種情況：
  • 拋物線反演後為具有繞扣的蝸線
  • 雙曲線反演後為心臟線
  • 橢圓反演後為沒有尖點和繞扣的蝸線。

• 帕斯卡蝸線可以看作是笛卡爾卵形線的特例。
• 一個內壁是球面的反射體的回光線（光線照在內壁上反射線的包絡線）是帕斯卡蝸線。

參考閱讀

• Jane Grossman and Michael Grossman. "Dimple or no dimple" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, The Two-Year College Mathematics Journal, January 1982, pages 52–55.
• Howard Anton. Calculus, 2nd edition, page 708, John Wiley & Sons, 1984.
• Howard Anton. [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） pp. 725 – 726.
• Howard Eves. A Survey of Geometry, Volume 2 (pages 51,56,273), Allyn and Bacon, 1965.

外在鏈接

• 埃里克·韋斯坦因. 帕斯卡蜗线. MathWorld.  （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• "Limacon of Pascal" at The MacTutor History of Mathematics archive （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• "Limaçon" at www.2dcurves.com （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• "Limaçons de Pascal" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (in French)
• "Limacon of Pascal" at Visual Dictionary of Special Plane Curves （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• "Limacon of Pascal" on PlanetPTC (Mathcad)