巴拿赫極限

在數學分析中，巴拿赫極限（英語：Banach limit）指的是定義在全體有界復序列組成的巴拿赫空間$\ell ^{\infty }$上，對每個$\ell ^{\infty }$中的序列$x=(x_{n})$、$y=(y_{n})$和複數$\alpha$滿足：

1. $\phi (\alpha x+y)=\alpha \phi (x)+\phi (y)$（線性）；
2. 若對每個$n\in \mathbb {N}$有$x_{n}\geq 0$，則$\phi (x)\geq 0$（正定性）；
3. $\phi (x)=\phi (Sx)$，其中$S$是移位算子，定義為$(Sx)_{n}=x_{n+1}$（移位不變性）；
4. 若$x$是收斂序列，則$\phi (x)=\lim x$

的連續線性泛函$\phi :\ell ^{\infty }\to \mathbb {C}$。

因此，$\phi$是對連續線性泛函$\lim :c\to \mathbb {C}$的延拓，其中$c\subset \ell ^{\infty }$是$\mathbb {C}$中收斂到某個極限的全體序列組成的復向量空間。進而可以視為發散級數論中的一個可和法。

換句話說，巴拿赫極限是對通常意義下極限概念的延拓，並且是線性、移位不變、正定的。可以對某個序列找到兩個巴拿赫極限，使得各自作用下得到兩個不同的值，我們稱這類序列的巴拿赫極限不是唯一確定的。

作為上述性質的一個推論，每個實值巴拿赫極限也滿足：

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \phi (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}$

巴拿赫極限的存在性通常需要應用哈恩-巴拿赫定理證明（分析學方法），也可以應用超濾子（這種方法在集合論的討論中出現得更頻繁）。這些證明都一定會用到選擇公理（即所謂的非構造證明）。

幾乎收斂

某些不收斂的級數在巴拿赫極限的作用下是唯一確定的。 例如$x=(1,0,1,0,\ldots )$，注意到$x+S(x)=(1,1,1,\ldots )$是常序列，並且

$2\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=\phi (x+Sx)=\phi ((1,1,1,\ldots ))=\lim((1,1,1,\ldots ))=1.$

因此對每個巴拿赫極限而言，它以$1/2$為極限。

我們將每個巴拿赫極限$\phi$下有相同的$\phi (x)$的有界序列$x$稱為幾乎收斂的。

Ba 空間

在$c\subset \ell ^{\infty }$中給定收斂序列$x=(x_{n})$，如果考慮對偶$\langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle$，$x$通常的極限並不由$\ell ^{1}$的某個元素給出。實際上$\ell ^{\infty }$是$\ell ^{1}$的連續對偶空間（對偶巴拿赫空間）；反過來，$\ell ^{1}$雖然能誘導出$\ell ^{\infty }$中的連續線性泛函，但並不是全部。每個$\ell ^{\infty }$上的巴拿赫極限都是$\ell ^{\infty }$的對偶巴拿赫空間中的一個元素，但不在$\ell ^{1}$中。$\ell ^{\infty }$的對偶叫做ba空間，由一切自然數集子集的σ-代數上有限可加（符號）測度組成，或者等價地說是由每個自然數集的Stone–Čech緊化上的波萊爾（符號）測度組成。

外部連結

• 巴拿赫极限. PlanetMath. 

參考

• Balcar, Bohuslav; Štěpánek, Petr. Teorie množin 2. Praha: Academia. 2000. ISBN 802000470X （捷克語）. 
• Conway, John B. A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics 96. New York: Springer. 1994. ISBN 0-387-97245-5.