尤拉臨界負載

圖 1：鋼的臨界應力與細長比，E = 200 GPa，降伏強度 = 240 MPa。

尤拉臨界負載是細長柱體突然彎曲或挫曲時的壓縮負載。公式如下：

$P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}$

其中

$P_{cr}$, 尤拉臨界負載（柱上的縱向壓縮負載），

$E$ ，柱體材料的楊氏模數，

$I$ ，柱體橫截面的最小面積慣性矩，

$L$, 柱體的無支撐長度，

$K$ ,柱體有效長度係數

這個公式是在西元1757年由瑞士數學家萊昂哈德·尤拉所推導出來。臨界負載是不會引起橫向撓曲（挫曲）的最大負載。對於小於臨界負載的應力，柱將保持筆直。對於大於臨界負載的應力，柱將有橫向形變產生。恰等於臨界負載的應力，使柱處於不穩定平衡狀態。超過臨界載荷的載荷會導致柱因挫曲而失效。隨着負載增加超過臨界負載，橫向形變量會增加，直到它可能在其他模式下失效，例如材料降伏。超出臨界負載的應力不在本文的討論範圍。

大約在1900年， J. B. Johnson 提出在低細長比下，應該使用不同的方程式。

模型假設

圖 2：尤拉臨界負載的柱體有效長度係數。在實際設計時，建議增加為如上圖所示的係數。

在推導尤拉公式時所做的假設如下：

1. 柱體材料均質且具等向性。
2. 柱體受到的壓縮負載僅有軸向。
3. 柱子沒有初始應力。
4. 柱子的重量被忽略。
5. 柱子最初是直的（軸向負載沒有偏移）。
6. 銷接頭無摩擦（無力矩約束），若是固定端則無剛性（無旋轉偏轉）。
7. 柱子的橫截面在其整個長度上是均勻、不改變的。
8. 與彎曲應力相比，直接應力非常小（材料僅在彈性應變範圍內被壓縮）。
9. 細長比很高，與柱的橫截面尺寸相比，柱的長度非常長。
10. 該柱僅因挫曲而失效，即柱中的壓應力不超過降伏強度$\sigma _{y}$ （見圖1）：

    $\sigma ={\frac {P_{cr}}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(L_{e}/r)^{2}}}<\sigma _{y}$

其中：

${\textstyle {\frac {L_{e}}{r}}}$, 細長比,

$L_{e}=KL$ ，有效長度，

${\textstyle r={\sqrt {\operatorname {I} \over \operatorname {A} }}}$ ,迴轉半徑,

$I$, 面積慣性矩,

$A$, 橫截面面積。

對於細長柱體，臨界挫曲應力通常低於降伏應力。相比之下，堅固的柱子可能具有高於降伏的臨界挫曲應力，即它會在挫曲之前就先降伏。

數學推導

銷接端點的柱體

以下模型適用於兩端為簡支承的柱子（ $K=1$ ）。

首先，我們要注意銷接端沒有反作用力，所以柱的任何橫截面也沒有剪力。沒有應力的原因可以從對稱性（所以應力應該在相同的方向）和力矩平衡（所以應力應該在相反的方向）得到。

使用圖 3 右側的自由體圖，並將點 x 的力矩加總：

$\Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0$

其中 w 是橫向變形。

根據尤拉-伯努利樑理論，樑的撓度與其彎矩的關係式為：

$M=-EI{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$ ,

圖 3：挫曲負載作用在兩端為銷接點的柱體

讓$\lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}$ ， 所以：

$EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0$

${\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0$

我們得到一個經典的齊次二階常微分方程。

該方程的通解為： $w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)$ ， 這裡的 $A$ 和 $B$ 常數由邊界條件所定義，它們是：

• 左端點固定$\rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0$
• 右端點固定$\rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0$

圖 4：前三種挫曲負載模態

如果$B=0$ ，沒有彎矩存在，我們得到了平凡解$w(x)=0$ 。

但是，從其他解 $\sin(\lambda l)=0$ 我們得到 $\lambda _{n}l=n\pi$ ， 其中$n=0,1,2,\ldots$

再加上前述的 $\lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}$ ，各種臨界負載是：

$P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{l^{2}}}$ ， 為了$n=0,1,2,\ldots$

並取決於 $n$ 的值 ，產生不同的挫曲模態 ，如圖 4 所示。 n=0 時的負載和模態是非挫曲模態。

理論上任何挫曲模態都有可能出現，但在緩慢施加負載的情況下，可能只會產生第一種模態形狀。

因此，銷端柱的尤拉臨界負載為：

$P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}$

得到柱的第一模態挫曲形狀為：

$w(x)=B\sin \left({\pi \over l}x\right)$ .

通常的做法

圖 5：作用在柱上的力與力矩。

樑軸向的微分方程：

${\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}$

對於僅具有軸向負載的柱，橫向負載 $q(x)$ 消失，再代入 $\lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}$ 可得到：

${\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0$

這是一個齊次四階微分方程，其通解為

$w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D$

四個常數 $A,B,C,D$ 由兩端邊界條件所決定的 $w(x)$ 來得到。有以下三種情況：

1. 銷接端 (Pinned end)：

   $w=0$和$M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0$

2. 固定端 (Fixed end)：

   $w=0$和${dw \over dx}=0$

3. 自由端 (Free end)：

   $M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0$和$V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0$

對於這些邊界條件的每一種組合，都會得到一個特徵值問題。藉由解決這些問題，我們得到了圖 2 中所示每種條件下的尤拉臨界負載值。

參見

• 挫曲
• 彎矩
• 彎曲 (力學)
• 尤拉-伯努利樑理論