實射影平面

射影平面的基本多邊形。	莫比烏斯帶只有一條邊，將相對開邊反向黏合起來便成為閉合的射影平面。	對照克萊因瓶，是莫比烏斯帶相對開邊同向黏合。

在數學中，實射影平面（英語：Real projective plane）是R³中所有過原點直線組成的空間，通常記作 $\mathbb {R} P^{2}$ ，無歧義時也記為 $P^{2}$ 。這是一個不可定向、緊緻、無邊界二維流形（即一個曲面），它在幾何中有基本的應用，但不能無自交地嵌入我們通常的三維歐幾里得空間。它的虧格是1，故歐拉示性數也為1。

實射影平面有時描述為基於莫比烏斯帶的構造：如果能把莫比烏斯帶的（一條）邊以恰當的方向黏合，將得到射影平面。等價地，沿着莫比烏斯帶的邊界黏合一個圓盤給出射影平面。

由於莫比烏斯帶可構造為將正方形的一組對邊反向黏合，從而實射影平面可以表示為單位正方形（[0,1] × [0,1]）將它的邊界通過如下等價關係等同：

(0, y) ~ (1, 1 − y) 對0 ≤ y ≤ 1 ,

以及

(x, 0) ~ (1 − x, 1) 對0 ≤ x ≤ 1,

即如右圖所示。因為正方形同構於圓盤，故這也等價於將圓盤邊界的對徑點黏合。

構造

考慮一個球面，設球面的大圓（假設地球是一個球形，那麼赤道就是大圓）是「直線」，對徑點對是「點」（一對對徑點是通過大圓圓心的直線與大圓相交的兩個點）。容易驗證它們滿足射影平面所需的公理：

任何兩個不同的大圓交於一對對徑點；
任何兩個不同的對徑點對位於惟一一個大圓上。

這就是實射影平面。

如果我們將球面上每個點與其對徑點等同，則我們得到了實射影平面的一個表示，其中射影空間的「點」確實是點。

射影平面是球面在等價關係~下的商空間，這個等價關係~就是對徑關係，即 x ~ y當且僅當y = −x。這個球面的商空間同構於R³中所有通過原點的直線的集合。

所得的曲面是一個2維緊不可定向流形，有一點難以想象，因為它不能無自交地嵌入三維歐幾里得空間中。

從球面到實射影平面的商映射事實上是一個（2對1）覆蓋映射。從而實射影平面的基本群是二階循環群，即整數模2群。可以取上圖中的環路AB作為生成元。

實射影平面浸入三維空間

射影平面不能嵌入（這要求沒有自交）三維空間，不過可以浸入（局部鄰域沒有自交點）。伯伊曲面（英語：Boy's surface）是浸入的一個實例。

羅馬曲面（英語：Roman surface）是從射影平面到三維空間一個更加退化的映射，包含一個交叉帽（英語：cross-cap）。同樣對具有一個交叉套的球面也成立。

射影平面不能嵌入三維歐幾里得空間，可作如下證明：假設可以嵌入，由廣義若爾當曲線定理它將在三維歐幾里得空間中圍出一個緊區域。向外的單位法向量場將給出邊界流形的一個定向，但邊界流形就是射影平面，它是不可定向的。這是一個矛盾，從而我們所假設的嵌入必定是錯誤的。

實射影平面的一個多面體半形表示是四面半六面體。

從相反的方向來看，立方體半形、十二面體半形以及二十面體半形、抽象正則多面體（英語：Abstract polytope），都可以構造成射影平面中的正則圖形。

齊次坐標

平面中的直線集合可以用齊次坐標表示。直線ax+by+c=0可以表示為[a:b:c]。這些坐標有等價關係，對所有非零d，[a:b:c] = [da:db:dc]。從而相同直線的不同表示dax+dby+dc=0有同樣的坐標。坐標集合[a:b:1]給出了通常實平面，而坐標集合[a:b:0]定義了一個無窮遠直線。

嵌入4維空間

射影平面可嵌入一個4維歐幾里得空間。考慮 $\mathbb {R} P^{2}$ 是2維球面 $S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$ 由對徑關係 $(x,y,z)\sim (-x,-y,-z)\,$ 得到的商。考慮由 $(x,y,z)\longmapsto (xy,xz,y^{2}-z^{2},2yz)$ 給出的函數 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}$ 。將這個映射限制在區域 $S^{2}$ 上，因為它是一個二次多項式，故可分解，給出一個映射 $\mathbb {R} P^{2}\to \mathbb {R} ^{4}$ ，並且這個映射是嵌入。注意到這個嵌入有一個到 $R^{3}$ 的投影，即羅馬曲面。