外森比克不等式

外森比克不等式（Weitzenböck's inequality）是有關三角形邊長和面積的一個不等式。設三角形的邊長為$a,b,c$，面積為$A$，則外森比克不等式聲稱$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}A$成立。若且唯若三角形為等邊三角形，等號成立。佩多不等式是外森比克不等式的推廣。

在1961年國際奧林匹克數學競賽中，此題曾被拿來要求學生證明。

證明一

除了「所有平方數非負」以外，這個證明不用到其它任何不等式。

${\begin{aligned}{}&(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0\\{}\iff &2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\geq 0\\{}\iff &{\frac {4(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{3}}\geq {\frac {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\\{}\iff &{\frac {(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\geq 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\{}\iff &{\frac {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}\geq (4A)^{2},\end{aligned}}$

兩邊取平方根，即得證。

證明二

這個證明用到了排序不等式和算術-幾何平均值不等式。

${\begin{aligned}&&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&ab+bc+ca\\\iff &&3(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq &&(a+b+c)^{2}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)\left({\frac {a+b+c}{3}}\right)^{3}}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&4{\sqrt {3}}A.\end{aligned}}$

證明三

內拿破崙三角形的面積的平方的6倍等於不等式左邊減去右邊，顯然面積平方不小於 0，從而不等式成立。