z
{\displaystyle z}
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
z 的淡藍色直線是 z 的模長或絕對值。角
φ
{\displaystyle \varphi }
z 的輻角數學 中，複平面 （英語：Complex plane ）是用水平的實軸 虛軸 複數 的幾何表示。可視為一個具有特定代數結構笛卡兒平面 （實平面 ）實部 用沿着 x-軸的位移表示，虛部 用沿着 y-軸的位移表示[ 1]
複平面有時也叫做阿爾岡平面 ，因為它用於阿爾岡圖 中。這是以讓-羅貝爾·阿爾岡 （1768-1822）命名的，儘管它們最先是挪威-丹麥土地測量員和數學家卡斯帕爾·韋塞爾 （1745-1818）敘述的[ 2] 函數 的極點 與零點 的位置。
複平面的想法提供了一個複數的幾何解釋 。在加法 下，它們像向量 一樣相加；兩個複數的乘法 在極坐標 下的表示最簡單——乘積的長度或模長是兩個絕對值 或模長的乘積，乘積的角度或輻角 是兩個角度或輻角的和。特別地，用一個模長為 1 的複數相乘即為一個旋轉 。
在複分析 中複數通常用符號
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy\,}
這裡
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
i
{\displaystyle i}
虛單位 。在這種通常記法下複數
z
{\displaystyle z}
笛卡兒平面 中的點
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
笛卡兒平面中的點
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
極坐標 中也能表示為
(
x
,
y
)
=
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
(
r
=
x
2
+
y
2
;
θ
=
arctan
y
x
)
.
{\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\qquad \left(r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arctan {\frac {y}{x}}\right).\,}
在笛卡兒平面中可能假設反正切函數
arctan
{\displaystyle \arctan }
−
π
{\displaystyle -\pi }
π
{\displaystyle \pi }
弧度 （當
x
≤
0
{\displaystyle x\leq 0}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
[ 3] 歐拉公式 ）
z
=
x
+
i
y
=
|
z
|
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
=
|
z
|
e
i
θ
{\displaystyle z=x+iy=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=|z|e^{i\theta }\,}
這裡
|
z
|
=
x
2
+
y
2
;
θ
=
arg
(
z
)
=
−
i
ln
z
|
z
|
.
{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arg(z)=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\,}
[ 4] 這裡
|
z
|
{\displaystyle |z|}
z
{\displaystyle z}
θ
{\displaystyle \theta }
z
{\displaystyle z}
輻角 ，通常取值於區間
0
≤
θ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }
|
z
|
e
i
θ
{\displaystyle |z|e^{i\theta }}
歐拉公式 。注意
z
{\displaystyle z}
復指數函數 是周期為
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
θ
{\displaystyle \theta }
arg
z
{\displaystyle \arg z}
arg
z
=
θ
+
2
n
π
{\displaystyle \arg z=\theta +2n\pi }
n
{\displaystyle n}
≠
0
{\displaystyle \neq 0}
[ 5]
圍道積分 理論是複分析的重要組成部分。在此情形，沿着閉曲線的積分方向是要緊的——沿着相反的方向所得的積分值乘以 −1。習慣上「正方向」是逆時針方向。例如，沿着單位圓 我們從點
z
=
1
{\displaystyle z=1}
z
=
i
{\displaystyle z=i}
−
i
{\displaystyle -i}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
幾乎所有複分析專注複函數 ——即將複平面的一個子集映到複平面某個另外的（可能相交甚至重合）子集。這裡習慣說
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
定義域 位於 z -平面上，並稱
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
值域 或像作為 w -平面中的一個點集。用符號記成
z
=
x
+
i
y
;
f
(
z
)
=
w
=
u
+
i
v
,
{\displaystyle z=x+iy;\qquad f(z)=w=u+iv,\,}
並經常將函數
f
{\displaystyle f}
z -平面（帶有坐標
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
w -平面（帶有坐標
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
將複平面視為一個球面 的一部分是有用的。給定一個單位半徑球面，使複平面穿過其正中間，這樣球的中心與複平面的原點
z
=
0
{\displaystyle z=0}
赤道 與平面的單位圓 重合。
我們可以將球面上的點與複平面建立如下一一對應 。給定平面上一點，連接這一點與球面的北極之直線與球面恰好交於另一點。點
z
=
0
{\displaystyle z=0}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
|
z
|
>
1
{\displaystyle |z|>1}
在這個球極平面投影中只北極這一點，不能對應到複平面上任何一點。我們將其變成一一對應，添加一個理想的點——所謂的無窮遠點 ——到複平面上，使其與球面的北極對應。複平面添加一個無窮遠點這個拓撲空間，稱為擴充複平面 。這就是數學家在討論複分析時為什麼說單個無窮遠點。在實數軸上有兩個無窮遠點，但擴充複平面上只有一個（北極）無窮遠點[ 6]
想象一下球面上的經線和緯線投影到平面上會變成什麼。平行於赤道的所有緯線，它們將變為以原點
z
=
0
{\displaystyle z=0}
這不是從球面到平面惟一的球極平面投影。例如，球面的南極點可能置於平面的原點
z
=
0
{\displaystyle z=0}
當討論一個複變函數時，想象「切割」複平面經常會有方便之處。這種想法自然出現於多種不同情境。
考慮簡單的二值關係
w
=
f
(
z
)
=
±
z
=
z
1
2
.
{\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{\frac {1}{2}}.\,}
在我們可將這個關係處理為單值函數 之前，所得值域必須做些限制。在處理實數的平方根時這是容易做到的。例如，我們可定義
y
=
g
(
x
)
=
x
=
x
1
2
{\displaystyle y=g(x)={\sqrt {x}}\ =x^{\frac {1}{2}}\,}
為非負實數
y
{\displaystyle y}
y
2
=
x
{\displaystyle y^{2}=x}
z
{\displaystyle z}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
=
e
i
θ
⇒
w
=
z
1
2
=
e
i
θ
2
(
0
≤
θ
≤
2
π
)
.
{\displaystyle z=e^{i\theta }\qquad \Rightarrow \qquad w=z^{\frac {1}{2}}=e^{\frac {i\theta }{2}}\qquad (0\leq \theta \leq 2\pi ).\,}
顯然，當
z
{\displaystyle z}
w
{\displaystyle w}
e
0
=
1
{\displaystyle e^{0}=1}
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1}
問題之出現是由於在點
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
分支點
z
=
0
{\displaystyle z=0}
分支切割 （branch cut ）；在這種情形可以從
z
=
0
{\displaystyle z=0}
0
≤
arg
z
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \arg z<2\pi }
現在我們可以給出
w
=
z
1
2
{\displaystyle w=z^{\frac {1}{2}}}
z -平面副本，每一個沿着實軸剪開。在一個副本上我們定義 1 的平方根為
e
0
=
1
{\displaystyle e^{0}=1}
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1}
w
=
z
1
2
{\displaystyle w=z^{\frac {1}{2}}}
w -平面，
0
≤
arg
w
<
π
{\displaystyle 0\leq \arg w<\pi }
w -平面，
π
≤
arg
w
<
2
π
{\displaystyle \pi \leq \arg w<2\pi }
[ 7]
這個例子中的分支切割不必非要沿着實軸，甚至不必是直線。任何連接原點
z
=
0
{\displaystyle z=0}
w
=
g
(
z
)
=
(
z
2
−
1
)
1
2
.
{\displaystyle w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{\frac {1}{2}}.\,}
這裡多項式
z
2
−
1
{\displaystyle z^{2}-1}
z
=
±
1
{\displaystyle z=\pm 1}
g
{\displaystyle g}
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
這種情況使用如上所述的球極平面投影 最容易看清。在球面上一種切割是沿着連接赤道上兩點
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
無窮遠點 ）的經線。
亞純函數是在其定義域中除了有限或可數無窮 個點之外全純 從而解析 的複函數[ 8] 極點 。有時所有極點位於一條直線上，在這種情形說這個函數在「切開的平面上全純」。這裡是一個簡單的例子。
Γ函數 ，其定義為
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
n
]
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}\right]\,}
這裡
γ
{\displaystyle \gamma }
歐拉-馬歇羅尼常數 ，當
z
{\displaystyle z}
無窮乘積 的分母恰有一個為零，故
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
[ 9]
z
=
0
{\displaystyle z=0}
「在切開的複平面上全純，切割是沿着負實軸從 0（包含）到無窮遠點。」
或者，
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
「在切開的複平面
−
π
<
arg
z
<
π
{\displaystyle -\pi <\arg z<\pi }
z
=
0
{\displaystyle z=0}
注意這種切割與我們能剛才遇到的分支截斷稍有不同，因為這事實上在切開的複平面上除去了實軸。分支截斷留下實軸作為切開複平面的一邊（
0
≤
θ
{\displaystyle 0\leq \theta }
0
<
2
π
{\displaystyle 0<2\pi }
當然，為了構造
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
留數定理 得到的圍道積分 不必為零。通過切開複平面我們不僅確保
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
許多複函數是用無窮級數 或連分數 定義的。分析這些無窮長表達式的一個基本考慮是確定它們收斂為一個有限值的複平面區域。平面上一個切割可能對這個過程有幫助，如下例所示。
考慮由無窮級數定義的函數
f
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
(
z
2
+
n
)
−
2
.
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(z^{2}+n\right)^{-2}.\,}
因為
z
2
=
(
−
z
)
2
{\displaystyle z^{2}=(-z)^{2}}
z
{\displaystyle z}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
{\displaystyle z}
偶函數 ，所以可以限制在半個複平面上分析。又因為當
z
2
+
n
=
0
⇔
z
=
±
i
n
,
{\displaystyle z^{2}+n=0\quad \Leftrightarrow \quad z=\pm i{\sqrt {n}},\,}
時級數沒有定義，有理由沿着整個虛軸切開平面，使這個級數在實部不為零的收斂，當
z
{\displaystyle z}
[ 10]
這個例子中切割不過是方便之舉，因為無窮和無定義的點是離散的，且切開的平面可被一個合適的穿孔平面替代。在某些情形，切割是必須的，不止是為了方便。考慮無窮周期連分數
f
(
z
)
=
1
+
z
1
+
z
1
+
z
1
+
z
⋱
.
{\displaystyle f(z)=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{\ddots }}}}}}}}.\,}
可以證明
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
{\displaystyle z}
z
<
−
1
4
{\displaystyle z<-{\frac {1}{4}}}
−
1
4
{\displaystyle -{\frac {1}{4}}}
[ 11]
我們已經見到 關係
w
=
f
(
z
)
=
±
z
=
z
1
2
,
{\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{\frac {1}{2}},\,}
怎樣通過將
f
{\displaystyle f}
黎曼曲面
f
(
z
)
=
z
1
2
{\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{2}}}
w -平面（除去點
w
=
0
{\displaystyle w=0}
考慮兩個切開的複平面副本，切割沿着正實軸從
z
=
0
{\displaystyle z=0}
0
≤
arg
z
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \arg z<2\pi }
1
1
2
=
e
0
=
1
{\displaystyle 1^{\frac {1}{2}}=e^{0}=1}
2
π
≤
arg
z
<
4
π
{\displaystyle 2\pi \leq \arg z<4\pi }
1
1
2
=
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle 1^{\frac {1}{2}}=e^{i\pi }=-1}
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
θ
<
4
π
{\displaystyle \theta <4\pi }
θ
=
2
π
{\displaystyle \theta =2\pi }
θ
<
2
π
{\displaystyle \theta <2\pi }
f
(
z
)
=
z
1
2
{\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{2}}}
[ 7]
為了理解為什麼
f
{\displaystyle f}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
0
≤
θ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }
θ
=
2
π
{\displaystyle \theta =2\pi }
z
=
0
{\displaystyle z=0}
θ
=
4
π
{\displaystyle \theta =4\pi }
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
w -片面的像只繞一周。
形式微分說明
f
(
z
)
=
z
1
2
⇒
f
′
(
z
)
=
1
2
z
−
1
2
{\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{2}}\quad \Rightarrow \quad f^{\prime }(z)={\textstyle {\frac {1}{2}}}z^{-{\frac {1}{2}}}\,}
由此我們可說
f
{\displaystyle f}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
f
{\displaystyle f}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
上面討論 過的函數
w
=
g
(
z
)
=
(
z
2
−
1
)
1
2
,
{\displaystyle w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{\frac {1}{2}},\,}
的黎曼曲面如何構造呢？我們同樣從兩個 z -平面副本開始，但這一次每個沿着實軸從
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
g
{\displaystyle g}
z
=
2
{\displaystyle z=2}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
{\displaystyle z}
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
w
{\displaystyle w}
w
{\displaystyle w}
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1}
z
=
2
{\displaystyle z=2}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
=
2
{\displaystyle z=2}
這個例子中標記
θ
=
arg
z
{\displaystyle \theta =\arg z}
−
π
<
θ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }
π
<
θ
≤
3
π
{\displaystyle \pi <\theta \leq 3\pi }
xy -平面。則這個平面上出現一個鉛直洞，在此處兩個切割連接起來。如果當切割是從
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
拓撲 上說，這兩個黎曼曲面是等價 的，它們都是虧格 為 1 的可定向 二維曲面。
本文中上面幾節將「複平面」處理為複數的幾何類比。儘管術語「複平面」這種用法具有長期與數學悠久的歷史，但並不意味着是惟一的稱之為「複平面」的數學概念。至少有三種其它可能。
1 + 1 維閔可夫斯基空間 ，也稱為分裂複平面 ，代數分裂複數 可分解為兩個實數部分，容易將其關聯到笛卡兒平面里的點
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
實數上的二元數 集合也能與笛卡兒平面中的點
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
向量空間 C ×C ，複數與自身的笛卡兒積 ，是一個其坐標為複數的二維向量空間，在這種意義下也是一個「複平面」。
^ 儘管這是術語「複平面」最通常的數學意義，但不是惟一意義。其它包括分裂複平面 二元數 ，以商環 引入。
^ 韋塞爾研究報告1797年提交到丹麥學院；阿爾岡的論文1806年發表。（Whittaker & Watson, 1927, p. 9）
^ 詳細定義見複數 條目，用到的反正切函數的變種稱為Atan2 。
^ 可以直接由冪級數 e z Appendix ）復指數函數、三角函數與複對數函數所有熟知的性質。特別地，logr 的主值，這裡 |r |=1，可不引用任何幾何或三角構造算出來。參見此文 。
^ (Whittaker & Watson, 1927, p. 10)
^ (Flanigan, 1983, p. 305)
^ 7.0 7.1 (Moretti, 1964, pp. 113-119)
^ 另見證明亞純函數全純 。
^ 可以證明無窮乘積 Γ(z ) 在分母不為零的任何有界區域中一致收斂 ，從而定義了複平面上一個亞純函數。(Whittaker & Watson, 1927, pp. 235-236)
^ 當 Re(z ) > 0 時，通過與 ζ (2) 比較，這個和在任何有界區域上一致收斂，這裡 ζ (s ) 時黎曼zeta函數 。
^ (Wall, 1948, p. 39)
Francis J. Flanigan, Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions , Dover, 1983 ISBN 0-486-61388-7 .
Gino Moretti, Functions of a Complex Variable , Prentice-Hall, Inc., 1964.
H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8 .
E. T. Whittaker and G. N. Watson , A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1927.
![{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254ec25f50bea717940e786f5ed2e06ef40b8710)
