垂心組

一個垂心組，其中一點是另三點構成的三角形的垂心

在幾何學中，一個垂心組是由四個點組成的平面圖形，使得其中一點都是另外三點組成的三角形的垂心。

結構

如果四個點構成一個垂心組，那麼實際上可以證明每個點都是另外三點組成的三角形的垂心。因此，在一個垂心組中，四個點的地位是相同的。在一般情況下，四個點的位置互不相同，除非其中有三個點構成直角三角形。這時第四個點和直角頂點重合。在所有其他的情況里，會有一個點落在另三點所構成的三角形的內部。

性質

如圖，垂心組$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$的四個三角形的外接圓們的圓心為$O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}$：恰好是原來的垂心組翻轉過來的樣子。

一個垂心組中的點可以構成四個三角形。這四個三角形中有一個是銳角三角形，另外三個是鈍角三角形。這四個三角形的九點圓都是同一個稱為垂心組的（公共的）九點圓；它們的外接圓有相同的半徑，這個半徑稱為垂心組的外接圓半徑。這四個外接圓的圓心也構成一個垂心組，並且和原來的垂心組全等（形狀一樣），可以看成是原來的垂心組關於一點旋轉180°之後的結果。這個點就是原垂心組的九點圓的圓心。

垂心組的四個三角形擁有共同的九點圓：$A_{4}$ 和$O_{4}$ 關於$O$ 對稱。

將垂心組的四點兩兩連起來，並延長成直線，則可以得到六條直線。這六條直線有七個交點，其中四個是原來垂心組的四點，另外三點都是兩兩垂直的直線的交點，它們是垂心組中唯一一個銳角三角形的三條高線的垂足。這三個點構成的三角形叫做垂心的垂足三角形。垂心組中不構成銳角三角形的那一點不僅是銳角三角形的垂心，也是垂心的垂足三角形的內心。而垂心組的另外三個點（構成銳角三角形的三個點）則是垂心的垂足三角形的三個旁心。反過來則可以推出：任何一個三角形的內心和三個旁心構成一個垂心組。

參考來源

• R.A.約翰遜，單墫 譯. 近代欧氏几何学. 上海教育出版社. : 142–146. ISBN 7-5320-6392-5. 
• Altshiller-Court. College Geometry: A Second Course in Plane Geometry for Colleges and Normal Schools. New York: Barnes and Noble, 2nd ed. 1952: 109-114.