後繼序數

定義序數時，後繼函數$S$是取得下一個序數的數學工具。如果使用馮·諾伊曼序數（用於集合論的標準序數）表示，對於任何一個序數我們可以得到：

$S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$

因為在序數上的排序$\alpha >\beta$當且僅當$\alpha \in \beta$，立即得出沒有序數在$\alpha$和$S(\alpha )$之間，而$\alpha <S(\alpha )$也是明顯的。是某個序數$\beta$的$S(\beta )$的序數叫做後繼序數。不是其它哪個序數的後繼的序數，我們把它們叫做極限序數。嚴格地按照超限歸納法，我們可以用這樣的運算定義序數如下：

$\alpha +0=\alpha$

$\alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )$

對於極限序數$\lambda$：

$\alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )$

在特殊情況下，$S(\alpha )=\alpha +1$，乘和冪的定義也是一樣的，請參見極限序數。