可收縮空間

一些可收縮空間和不可收縮空間的說明，空間A、B、C是可收縮的，D、E、F不是。

若拓撲空間X上的恆等映射是零倫的（即與某常數映射同倫），則稱拓撲空間是可收縮空間。直觀地說，可收縮空間就是可以不斷收縮到某點的空間。

性質

可收縮空間是具有點的同倫類的空間；可見，可收縮空間的所有同倫群都是平凡群。因此，任何具有非平凡同倫群的空間都不可收縮；由於奇異同調是同倫不變量，因此可收縮空間的既約同調群都是平凡的。

對拓撲空間X，下面這些情況等價：

• X是可收縮的（即恆等映射零倫）
• X與單點空間同倫等價
• X可收縮到一點上（不過也存在不強烈收縮到一點的可收縮空間）
• 對任意路徑連通空間Y，任意兩映射f,g: X → Y同倫
• 對任意空間Y，任意映射f: Y → X是零倫的。

空間X上的錐都可收縮。於是，任何空間都可嵌入到可收縮空間（這也說明，可收縮空間的子空間不一定可收縮）。

此外，當且僅當存在X的錐到X的收縮時，X才可收縮。

可收縮空間都是道路聯通、單連通的。另外，由於所有更高的同倫群都為零，因此對所有n ≥ 0，每個可收縮空間都是n-連通的。

局部可收縮空間

若對點x的所有鄰域U，都有U中的x的鄰域V使V的包含在U中零倫，則稱拓撲空間X在點x局部可收縮。若空間在每點都可收縮，則稱空間為局部可收縮空間。這個定義有時也稱作「幾何拓撲學家的局部可收縮」，是這術語最常見的用法。艾倫·哈切爾的標準代數拓撲學文本中，這個定義被稱作「弱局部可收縮」，還有其他用途。

若每點都有可收縮鄰域的鄰域基，則稱X為強局部可收縮的。可收縮空間不一定是局部可收縮的，反之亦然。例如，梳空間是可收縮的，但不是局部可收縮的（若是，則就會是局部連通的，但並不是）。局部可收縮空間是局部n連通的（n ≥ 0），還是局部單聯通空間、局部路徑連通、局部連通的。圓是（強）局部可收縮空間，但不是可收縮空間。

強局部可收縮性是嚴格強於局部可收縮性的性質，反例是複雜的，第一個反例由卡羅爾·博蘇克和Mazurkiewicz在論文Sur les rétractes absolus indécomposables, C.R.. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 110-112)中給出。

關於哪個定義才是局部可收縮的「標準」定義，有一些分歧；第一個定義更常用於幾何拓撲，歷史上尤多，而第二個定義更符合「局部」一詞在拓撲性質方面的典型用法。在解釋有關這些性質的結果時，應始終注意定義。

例子與反例

• 歐氏空間都是可收縮空間，歐氏空間上的星形域也都是。
• 懷特海德流形是可收縮的。
• 有限維球面不可收縮。
• 無限維希爾伯特空間中的單位球面是可收縮的。
• 兩室房是可收縮空間，但直觀上並不是。
• 流形和CW復形都局部可收縮，但一般不可收縮。
• 華沙圈是用(0,−1)到(1,sin(1))的弧「封閉」拓撲學家正弦曲線得到的，是1維連續的，其同倫群都平凡，但不可收縮。