反對稱矩陣

在線性代數中，反對稱矩陣（或稱斜對稱矩陣）指轉置矩陣和自身的加法逆元相等的方形矩陣。其滿足：

A^T = − A

或寫作$A=(a_{ij})$，各元素的關係為：

$a_{ij}=-a_{ji}\,\!$

例如，下例為一個斜對稱矩陣：

${\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}}$

在非偶數域中，斜對稱矩陣中的主對角線元素皆為0。

例子

${\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&2\\-2&0\end{bmatrix}}$

特性

• 斜對稱矩陣自身相乘的積是對稱矩陣。
• 任意矩陣$A$，$A^{T}-A$是斜對稱矩陣。
• 若$A$是斜對稱矩陣，$x$是向量，$x^{T}Ax=0$
• 斜對稱矩陣的主對角線元素必是零，所以其跡數為零。

行列式

若$A$是$n\times n$的斜對稱矩陣，其行列式滿足

$\operatorname {det} (A)=\operatorname {det} (A^{T})=\operatorname {det} (-A)=(-1)^{n}\operatorname {det} (A)$。

• 若$n$是奇數，行列式等於零。這個結果叫雅可比定理。
• 若$n$是偶數，行列式可以寫成部分元素的多項式的平方：$\operatorname {det} (A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}$。

這個多項式$\operatorname {Pf} (A)$叫$A$的普法夫行列式。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數。

譜理論

斜對稱矩陣的特徵根永遠以成對的形式（±λ）出現，因此一個實數斜對稱矩陣的非零特徵根為純虛數將會如下：iλ₁, −iλ₁, iλ₂, −iλ₂, …，其中 λ_k 是實數。

實斜對稱矩陣是正規矩陣（它們與伴隨矩陣可交換），因此滿足譜定理的條件，它說明任何實斜對稱矩陣都可以用一個酉矩陣對角化。由於實斜對稱矩陣的特徵值是複數，因此無法用實矩陣來對角化。然而，通過正交變換，可以把每一個斜對稱矩陣化為方塊對角線的形式。特別地，每一個2n × 2n的實斜對稱矩陣都可以寫成A = Q Σ Q^T的形式，其中Q是正交矩陣，且：

$\Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

對於實數λ_k。這個矩陣的非零特徵值是±iλ_k。在奇數維的情況中，Σ總是至少有一個行和一個列全是零。

無窮小旋轉

斜對稱矩陣形成了正交群O(n)在單位矩陣的切空間。在某種意義上，斜對稱矩陣可以視為無窮小旋轉。

另外一種說法是，斜對稱矩陣的空間形成了李群O(n)的李代數o(n)。這個空間上的李括號由交換子給出：

$[A,B]=AB-BA\$

很容易驗證，兩個斜對稱矩陣的交換子也是斜對稱的。

於是，斜對稱矩陣A的矩陣指數，是正交矩陣R：

$R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}$

李代數的指數映射的像總是位於含有單位元的李群的連通分支內。在李群O(n)的情況中，這個連通分支是特殊正交群SO(n)，由所有行列式為1的正交矩陣組成。因此R = exp(A)的行列式為+1。於是，每一個行列式為1的正交矩陣都可以寫成某個斜對稱矩陣的指數。

參見

• 斜埃爾米特矩陣
• 辛矩陣

參考文獻

• Eves, Howard. Elementary Matrix Theory. Dover Publications. 1980. ISBN 978-0-486-63946-8.