升鏈條件

在數學中，升鏈條件（Ascending Chain Condition）和降鏈條件（Descending Chain Condition）是一些代數結構具有的性質，例如交換環中的理想。

定義

偏序集$P$滿足升鏈條件，如果在$P$中不存在嚴格升序列

$a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots$

其中的$a_{i}$都是$P$中的元素。等價地，$P$中任意不嚴格升序列

$a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots$

最終都是穩定的，即存在一個正整數$n$使得

$a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .$

類似地，$P$滿足降鏈條件如果在$P$中不存在嚴格降序列或者每個不嚴格降序列最終都是穩定的。

性質

• 利用選擇公理，偏序集$P$滿足降鏈條件等價於$P$滿足良基關係：$P$的每個非空子集都有一個極小元。滿足良基關係的偏序集稱為良序集。
• 類似地，偏序集$P$滿足升鏈條件等價於$P$的每個非空子集都有一個極大元。

例子

正整數環$\mathbb {Z}$中的理想滿足升鏈條件，其中理想是通過包含關係進行排序，於是$\mathbb {Z}$是一個諾特環。