切比雪夫多項式 （英語：Chebyshev polynomials ）是與棣莫弗定理 有關，以遞歸定義 的一系列正交多項式 序列。 通常，第一類切比雪夫多項式以符號T n U n T n U n n 階多項式。
切比雪夫多項式在逼近理論 中有重要的應用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根（被稱為切比雪夫節點）可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象 ，並且提供多項式在連續函數 的最佳一致逼近。
在微分方程 的研究中，切比雪夫 提出切比雪夫微分方程 ：
(
1
−
x
2
)
y
″
−
x
y
′
+
n
2
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0}
和
(
1
−
x
2
)
y
″
−
3
x
y
′
+
n
(
n
+
2
)
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0}
相應地，第一類和第二類切比雪夫多項式分別為這兩個方程的解。 這些方程是斯圖姆-劉維爾微分方程 的特殊情形。
第一類切比雪夫多項式 由以下遞推關係確定
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1\,}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x\,}
T
n
+
1
(
x
)
=
2
x
T
n
(
x
)
−
T
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,}
也可以用母函數 表示
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
t
n
=
1
−
t
x
1
−
2
t
x
+
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.}
第二類切比雪夫多項式 由以下遞推關係 給出
U
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle U_{0}(x)=1\,}
U
1
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle U_{1}(x)=2x\,}
U
n
+
1
(
x
)
=
2
x
U
n
(
x
)
−
U
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\,}
此時母函數 為
∑
n
=
0
∞
U
n
(
x
)
t
n
=
1
1
−
2
t
x
+
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.}
切比雪夫多項式 第一類切比雪夫多項式由以下三角恆等式確定
T
n
(
cos
(
θ
)
)
=
cos
(
n
θ
)
{\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,}
其中 n = 0, 1, 2, 3, .... .
cos
n
θ
{\displaystyle \cos n\theta \,}
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta \,}
n 次多項式，這個事實可以這麼看：
cos
n
θ
{\displaystyle \cos n\theta \,}
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
=
e
i
n
θ
=
cos
(
n
θ
)
+
i
sin
n
θ
{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=e^{in\theta }=\cos(n\theta )+i\sin n\theta \,}
棣莫弗公式 ），而從左邊二項展開式可以看出實部中出現含
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta \,}
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta \,}
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle 1-\cos ^{2}\theta \,}
用顯式來表示
T
n
(
x
)
=
{
cos
(
n
arccos
(
x
)
)
,
x
∈
[
−
1
,
1
]
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
(
x
)
)
,
x
≥
1
(
−
1
)
n
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
(
−
x
)
)
,
x
≤
−
1
{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}}
儘管能經常碰到上面的表達式，但如果藉助於複函數cos(z ), cosh(z )以及他們的反函數，則有
T
n
(
x
)
=
cos
(
n
arccos
(
x
)
)
=
c
o
s
h
(
n
a
r
c
c
o
s
h
(
x
)
)
,
∀
x
∈
R
.
{\displaystyle {\begin{matrix}T_{n}(x)&=&\cos(n\arccos(x))\\&=&\mathrm {cosh} (n\,\mathrm {arccosh} (x))\end{matrix}}\ ,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}
類似，第二類切比雪夫多項式滿足
U
n
(
cos
(
θ
)
)
=
sin
(
(
n
+
1
)
θ
)
sin
θ
.
{\displaystyle U_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}.}
切比雪夫多項式可被定義為佩爾方程
T
i
2
−
(
x
2
−
1
)
U
i
−
1
2
=
1
{\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!}
在多項式環R[x ] 上的解(e.g., 見 Demeyer (2007) , p.70). 因此它們的表達式可通過解佩爾方程而得出:
T
i
+
U
i
−
1
x
2
−
1
=
(
x
+
x
2
−
1
)
i
.
{\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!}
兩類切比雪夫多項式可由以下雙重遞歸關係式中直接得出:
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1}
U
−
1
(
x
)
=
1
{\displaystyle U_{-1}(x)=1}
T
n
+
1
(
x
)
=
x
T
n
(
x
)
−
(
1
−
x
2
)
U
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)}
U
n
(
x
)
=
x
U
n
−
1
(
x
)
+
T
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x)}
證明的方式是在下列三角關係式中用
cos
ϑ
{\displaystyle \cos \vartheta }
x
{\displaystyle x}
T
n
+
1
(
x
)
=
T
n
+
1
(
cos
ϑ
)
=
{\displaystyle T_{n+1}(x)=T_{n+1}(\cos \vartheta )={}}
cos
(
(
n
+
1
)
ϑ
)
=
{\displaystyle \cos((n+1)\vartheta )={}}
cos
(
n
ϑ
)
cos
ϑ
−
sin
(
n
ϑ
)
sin
ϑ
=
{\displaystyle \cos(n\vartheta )\cos \vartheta -\sin(n\vartheta )\sin \vartheta ={}}
T
n
(
cos
ϑ
)
cos
ϑ
−
U
n
−
1
(
cos
ϑ
)
sin
2
ϑ
=
{\displaystyle T_{n}(\cos \vartheta )\cos \vartheta -U_{n-1}(\cos \vartheta )\sin ^{2}\vartheta ={}}
x
T
n
(
x
)
−
(
1
−
x
2
)
U
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)}
T n U n 正交多項式 系.
第一類切比雪夫多項式帶權
1
1
−
x
2
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}
即:
∫
−
1
1
T
n
(
x
)
T
m
(
x
)
d
x
1
−
x
2
=
{
0
:
n
≠
m
π
:
n
=
m
=
0
π
/
2
:
n
=
m
≠
0
{\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&:n\neq m~~~~~\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{matrix}}\right.}
可先令x= cos(θ) 利用
Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可證明.
類似地，第二類切比雪夫多項式帶權
1
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}
即:
∫
−
1
1
U
n
(
x
)
U
m
(
x
)
1
−
x
2
d
x
=
{
0
:
n
≠
m
π
/
2
:
n
=
m
{\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi /2&:n=m\end{cases}}}
其正交化 後形成的隨機變量 是 Wigner 半圓分布 ).
對每個非負整數
n
{\displaystyle n}
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
T
n
{\displaystyle T_{n}}
2
n
−
1
{\displaystyle 2^{n-1}}
n
=
0
{\displaystyle n=0}
1
{\displaystyle 1}
對
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
n
{\displaystyle n}
f
(
x
)
=
1
2
n
−
1
T
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
1
2
n
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}
−
1
{\displaystyle -1}
1
{\displaystyle 1}
f
{\displaystyle f}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
兩類切比雪夫多項式間還有如下關係：
d
d
x
T
n
(
x
)
=
n
U
n
−
1
(
x
)
,
n
=
1
,
…
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots }
T
n
(
x
)
=
1
2
(
U
n
(
x
)
−
U
n
−
2
(
x
)
)
.
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).}
T
n
+
1
(
x
)
=
x
T
n
(
x
)
−
(
1
−
x
2
)
U
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}
T
n
(
x
)
=
U
n
(
x
)
−
x
U
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x).}
切比雪夫多項式是超球多項式或蓋根堡多項式 的特例, 後者是雅可比多項式 的特例.
2
T
n
(
x
)
=
1
n
+
1
d
d
x
T
n
+
1
(
x
)
−
1
n
−
1
d
d
x
T
n
−
1
(
x
)
,
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle 2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){\mbox{ , }}\quad n=1,2,\ldots }
前六個第一類切比雪夫多項式的圖像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按顏色依次是T0 , T1 , T2 , T3 , T4 T5 . 前幾個第一類切比雪夫多項式是
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1\,}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x\,}
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
{\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\,}
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
{\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,}
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
{\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,}
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
{\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,}
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1
{\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,}
T
7
(
x
)
=
64
x
7
−
112
x
5
+
56
x
3
−
7
x
{\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,}
T
8
(
x
)
=
128
x
8
−
256
x
6
+
160
x
4
−
32
x
2
+
1
{\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,}
T
9
(
x
)
=
256
x
9
−
576
x
7
+
432
x
5
−
120
x
3
+
9
x
.
{\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,}
前六個第二類切比雪夫多項式的圖像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按顏色依次是U0 , U1 , U2 , U3 , U4 U5 . 雖然圖像中無法顯示,我們實際有 Un (1)=n+1 以及 Un (-1)=(n+1)(-1)n . 前幾個第二類切比雪夫多項式是
U
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle U_{0}(x)=1\,}
U
1
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle U_{1}(x)=2x\,}
U
2
(
x
)
=
4
x
2
−
1
{\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1\,}
U
3
(
x
)
=
8
x
3
−
4
x
{\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,}
U
4
(
x
)
=
16
x
4
−
12
x
2
+
1
{\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,}
U
5
(
x
)
=
32
x
5
−
32
x
3
+
6
x
{\displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,}
U
6
(
x
)
=
64
x
6
−
80
x
4
+
24
x
2
−
1.
{\displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1.\,}
第一類切比雪夫多項式前幾階導數是
T
n
′
(
1
)
=
n
2
{\displaystyle T_{n}'(1)=n^{2}\,}
T
n
′
(
−
1
)
=
−
(
−
1
)
n
∗
n
2
{\displaystyle T_{n}'(-1)=-(-1)^{n}*n^{2}\,}
T
n
″
(
1
)
=
(
n
4
−
n
2
)
/
3
{\displaystyle T_{n}''(1)=(n^{4}-n^{2})/3\,}
T
n
″
(
−
1
)
=
(
−
1
)
n
∗
(
n
4
−
n
2
)
/
3
{\displaystyle T_{n}''(-1)=(-1)^{n}*(n^{4}-n^{2})/3\,}
一個N 次多項式按切比雪夫多項式的展開式為如下：
p
(
x
)
=
∑
n
=
0
N
a
n
T
n
(
x
)
{\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x)}
多項式按切比雪夫多項式的展開可以用 Clenshaw遞推公式 計算。
兩類的n 次切比雪夫多項式在區間[−1,1]上都有n 個不同的根, 稱為切比雪夫根 , 有時亦稱做 切比雪夫節點 插值點 . 從三角形式中可看出T n n 個根分別是：
x
i
=
cos
(
2
i
−
1
2
n
π
)
,
i
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.}
類似地， U n n 個根分別是：
x
i
=
cos
(
i
n
+
1
π
)
,
i
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.}
![{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f5a2ca2eea69b4e6c0e35822152bb0a62c4a38)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
