凱恩斯-拉姆齊規則

凱恩斯 - 拉姆齊規則 (Keynes-Ramsey-Rule ，簡稱KRR)在動態宏觀經濟學中描述了追求跨期效用最大化下消費增長率的變化^[1]。該規則是新古典主義經濟學中增長理論的一部分，描述了消費增長率 $g$ ，利率 $r$ ，時間偏好率 $\rho$ 和跨期替代彈性 $\sigma$ 之間的關係。

凱恩斯 - 拉姆齊規則是拉姆齊模型的一個公式化的推導，主要從社會規劃者的角度，給出了最優儲蓄的結果^[2]。其中相關推導過程應用了高數里的變換微積分等方法。

區分

一些學者同義地使用凱恩斯-拉姆齊規則和歐拉方程這兩個術語 ^[3]。

雖然歐拉方程用於變分計算，可求得動態優化問題中的最優性條件^[4]。但其具有廣泛用途，不局限於經濟學。因此另一些僅將凱恩斯-拉姆齊規則描述為歐拉方程的特殊代表或經濟解釋^[5]。

除此以外，還有歐拉消費方程 ，它描述了追求效用最大化時，家庭的最優跨期消費的理性分配^[6]。

一般定義

凱恩斯 - 拉姆齊規則如下：

g_{C}={\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\sigma }}(r-\rho ).

KRR的核心表述： ^[7]

消費在增長( $g_{C}>0$ )，如果利率( $r$ )大於時間偏好率（ $\rho$ ) 。
較小的意願來跨期(在未來進行)替代消費（ $\sigma$ 越大) 意味着對利率和時間偏好之間的差異的反應較弱。

如果利率大於時間偏好率 $r>\rho$ ，則增長率 $g_{C}$ 為正。在這種情況下，家庭會選擇儲蓄(即放棄消費)，因為用於儲蓄(即放棄消費的部分)的利息補償了放棄當期消費的效用損失。

時間偏好率 $\rho$ 旨在描述家庭未來向的消費傾向而不是今天的消費，這裡通常假設時間偏好率為正 ( $\rho >0$ )。

彈性參數 $\sigma$ 描述了效用函數的曲率，效用函數越彎曲（凹陷），家庭越喜歡消費隨時間的平均分配。如果該值非常高，則較低的增長率將是最佳的。

理論上 $\sigma$ 是正數，但Robert E. Hall的實證研究得出過一些負的彈性值^[8]。這些參數 $\sigma$ 來自一個特殊的效用函數,其跨期替代彈性由倒數 ${\frac {1}{\sigma }}$ 來替代。

公式表述

KRR是動態優化的結果。根據目標函數的形式（效用函數，例如:CIES-效用函數）和限制條件函數（例如家庭的預算函數)而各有不同。

連續無限時間範圍

假定無限制時間長度的條件下，關於如何最大化如下的效用函數：

\max \int _{0}^{\infty }{\frac {C^{1-\sigma }-1}{1-\sigma }}e^{-\rho t}dt.

這裡 $C$ 表示消費， $\sigma$ 表示恆定的彈性以及 $\rho >0$ 表示一個大於零的時間偏好率。

之外還必須考慮預算和生產技術的限制:

Y(t)=I(t)+C(t),\quad y^{*}=T^{\frac {1}{1-\alpha }}\left({\frac {s}{\delta +n}}\right){}^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}

此外，資本積累方程：

{\dot {K}}(t)=I(t)-\delta K(t)

這裡 $\delta$ 代表資本折舊率（不必帶入實際值）。最優化的結果如下所示（按人均量計算）：

{\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\sigma }}\left[\alpha {\frac {y}{k}}-\rho -\delta \right].

這裡 $\alpha {\frac {y}{k}}$ 相當於假定生產函數的資本邊際產出。要使此增長率 $g_{c}$ 為正，資本邊際產出 $\alpha {\frac {y}{k}}$ 必須大於時間偏好率 $\rho$ 和折舊率 $\delta$ 之和。

有限時間範圍

示例：每個家庭都需要根據其收入 $y_{t}$ 和市場利率 $r$ 制定某段時期 $t$ 內的理性消費計劃。該優化問題如下^[9]:

\max \sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(c_{t})

在限制條件下:

a_{t}+y_{t}=c_{t}+{\frac {a_{t+1}}{1+r}}\quad \forall t=1,...,T

結果如下：

u'(c_{t})=\beta \cdot u'(c_{t+1})\cdot (1+r).

這描述了最佳消費選擇隨時間的基本特徵（必要條件）。當前 $t$ 邊際效用 $u'(c_{t})$ 等於下一期 $t+1$ 邊際效用的貼現值 $u'(c_{t+1})$ ，並結合期望的儲蓄邊際收益 $(1+r)$ 。

這種形式的KRR有時在經濟學中被稱為歐拉方程^[10]。

歷史和構思

1928年拉姆齊在他的文章<<儲蓄的數學理論>>(<<A mathematical theory of saving>>)中首次闡釋該規則。這是一個國家應該儲蓄多少的問題：

The rate of saving multiplied by the marginal utility of money should always be equal to the amount by which the total net rate of enjoyment of utlity falls short of the maximum possible rate of enjoyment.
——Frank Ramsey, 1928.^[11]

凱恩斯-拉姆齊規則以英國數學家弗蘭克·普蘭普頓拉姆齊和英國經濟學家約翰·梅納德·凱恩斯的名字命名。拉姆齊於1928年在他的文章中創建了規則的基礎，但凱恩斯指出了他對結果的現有解釋，之後規則以兩者共同命名 ^[12]。

[Ramsey's 1928 article] is, I think, one of the most remarkable contributions to mathematical economics ever made, both in respect of the intrinsic importance and difficulty of its subject, the power and elegance of the technical methods employed, and the clear purity of illumination with which the writer's mind is felt by the reader to play about it subject. The article is terribly difficult reading for an economist, but it is not difficult to appreciate how scientific and aesthetic qualities are combined in it together.
——John Maynard Keynes, "F.P. Ramsey", Economic Journal, 1930^[13]

參考

^ Keynes-Ramsey-Rule （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – Gabler Wirtschaftslexikon.
^ Maik Heinemann: Dynamische Makroökonomik. Springer Gabler; Auflage: 2015 (20. November 2014). ISBN 978-3662441558. S. 57.
^ Maik Heinemann: Dynamische Makroökonomik. Springer Gabler; Auflage: 2015 (20. November 2014). ISBN 978-3662441558. S. 26.
^ Hannula, Helena, Slavo Radošević, and G. N. Von Tunzelmann, eds. Estonia, the new EU economy: building a Baltic miracle?. Ashgate Publishing, Ltd., 2006. S. 82.
^ Frank Hettich: Economic Growth and Environmental Policy: A Theoretical Approach. Edward Elgar Publishing Ltd (August 2000). ISBN 978-1840643695. S. 47.
^ Euler-Gleichung des Konsums （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon.
^ Xavier Sala-I Martin, Robert J. Barro: Economic Growth. MIT Press. 2003. ISBN 978-0262025539. S. 91.
^ Hall, Robert E. "Intertemporal substitution in consumption." (1988).
^ Maik Heinemann: Dynamische Makroökonomik. Springer Gabler; Auflage: 2015 (20. November 2014). ISBN 978-3662441558. S. 25/26.
^ Generationenmodelle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon.
^ Ramsey, Frank Plumpton. "A mathematical theory of saving." The economic journal (1928). S. 543.
^ Maria Frapolli, Maria Jose Frapolli: F. P. Ramsey: Critical Reassessments. Continnuum-3pl; Auflage: First Edition (15. März 2005). ISBN 978-0826476005. S. 107/108.
^ Collard, David A. Generations of Economists. Vol. 120. Routledge, 2011.

文獻

原創文獻

Ramsey, Frank Plumpton. "A mathematical theory of saving." The economic journal (1928): 543–559.

二次文獻

Stanley Fischer, Olivier Blanchard: Lectures on Macroeconomics. MIT Press (1. Januar 1989). ISBN 978-0262022835. S. 41ff.

[1] Keynes-Ramsey-Rule （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – Gabler Wirtschaftslexikon.

[2] Maik Heinemann: Dynamische Makroökonomik. Springer Gabler; Auflage: 2015 (20. November 2014). ISBN 978-3662441558. S. 57.

[3] Maik Heinemann: Dynamische Makroökonomik. Springer Gabler; Auflage: 2015 (20. November 2014). ISBN 978-3662441558. S. 26.

[4] Hannula, Helena, Slavo Radošević, and G. N. Von Tunzelmann, eds. Estonia, the new EU economy: building a Baltic miracle?. Ashgate Publishing, Ltd., 2006. S. 82.

[5] Frank Hettich: Economic Growth and Environmental Policy: A Theoretical Approach. Edward Elgar Publishing Ltd (August 2000). ISBN 978-1840643695. S. 47.

[6] Euler-Gleichung des Konsums （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon.

[7] Xavier Sala-I Martin, Robert J. Barro: Economic Growth. MIT Press. 2003. ISBN 978-0262025539. S. 91.

[8] Hall, Robert E. "Intertemporal substitution in consumption." (1988).

[9] Maik Heinemann: Dynamische Makroökonomik. Springer Gabler; Auflage: 2015 (20. November 2014). ISBN 978-3662441558. S. 25/26.

[10] Generationenmodelle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon.

[11] Ramsey, Frank Plumpton. "A mathematical theory of saving." The economic journal (1928). S. 543.

[12] Maria Frapolli, Maria Jose Frapolli: F. P. Ramsey: Critical Reassessments. Continnuum-3pl; Auflage: First Edition (15. März 2005). ISBN 978-0826476005. S. 107/108.

[13] Collard, David A. Generations of Economists. Vol. 120. Routledge, 2011.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]