幾何數論

在數論中，幾何數論（英語：Geometry of numbers）研究凸體和在n維空間整數點向量問題。幾何數論於1910由赫爾曼·閔可夫斯基創立。幾何數論和數學其它領域有密切的關係，尤其研究在泛函分析和丟番圖逼近中，對有理數向無理數逼近問題。

閔可夫斯基的結果

主條目：閔可夫斯基定理

• 閔可夫斯基定理，有時也被稱為閔可夫斯基第一定理：

假設Γ是在n維歐氏空間Rⁿ的格和K是中心對稱凸體，$vol(K)>2^{n}vol(R^{n}/\Gamma )$ ，則K包含Γ非零的向量。

• 閔可夫斯基第二定理，是他的第一定理加強。定義K數字λ最大下界，為 λ_k，稱為連續最低。

則λK在Γ中ķ線性無關，則有：

$\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}vol(K)\leq 2^{n}vol(R^{n}/\Gamma ).$

近現代幾何數論研究

在1930年至1960年的很多數論學家取得了很多成果（包括路易·莫德爾，哈羅德·達文波特和卡爾·路德維希·西格爾）。近年來，Lenstra，奧比昂，巴爾維諾克對組合理論的擴展對一些凸體的格數量進行了列舉。

• 施密特子空間定理
• 在幾何數論的子空間定理，由沃爾夫岡·施密特在1972年證明
• 設n是正整數，如果n個n維線性型L₁,...,L_n都具有代數係數，並且是線性無關的，那麼對於任何給定的實數ε> 0，所有滿足條件: $|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\epsilon }$ 的n維非零整數點x都在有限多個Qⁿ的真子空間內。

對泛函分析的影響

始於閔可夫斯基的幾何數論在泛函分析上產生深遠的影響。閔可夫斯基證明，對稱凸體誘導有限維向量空間的範數。閔可夫斯基定理由柯爾莫哥洛夫推廣到拓撲向量空間。柯爾莫哥洛夫的定理證明有界閉對稱凸集生成Banach空間的拓撲。當前Kalton et alia. Gardner對星形集和非凸集取得了一些成果。

延伸閱讀

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