公理系統
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數學上，一個公理系統（英語：axiomatic system，或稱公理化系統，公理體系，公理化體系）是一個公理的集合，從中一些或全部公理可以一併用來邏輯地導出定理。一個數學理論由一個公理系統和所有它導出的定理組成。一個完整描述出來的公理系統是形式系統的一個特例；但是通常完全形式化的努力僅帶來在確定性上遞減的收益，並讓人更加難以閱讀。所以，公理系統的討論通常只是半形式化的。一個形式化理論通常表示一個公理系統，例如在模型論中表述的那樣。一個形式化證明是一個證明在形式化系統中的表述。
性質
一個公理系統稱為自洽（或稱相容、一致），如果它沒有矛盾，也就是說沒有從公理同時導出一個命題及其否定的能力。
在一個公理系統中，一個公理被稱為獨立的，若它不是一個從系統的其它公理可以導出的定理。一個系統稱為獨立的，若它的每個公理都是獨立的。
雖然獨立性不是一個系統的必要需求，自洽性卻是必要的。
若一個公理系統中，每個命題及其否定命題中至少有一方可被證明，則稱該公理系統為完備 。
模型
公理系統的數學模型是一個定義良好的集合，它給系統中出現的未定義術語賦予意義，並且是用一種和系統中所定義的關係一致的方式。具體模型[註 1]的存在性能證明系統的自洽性。
模型也可以用來顯示一個公理在系統中的獨立性。通過構造除去一個特定公理的子系統的有效模型，我們表明該省去的公理是獨立的，若它的正確性不可以從子系統得出。
兩個模型被稱為同構，如果它們的元素可以建立一一對應，並且以一種保持它們之間的關係的方式。一個其每個模型都同構於另一個的公理系統稱為範疇式的，而可範疇化的性質保證了系統的完備性。
第一個被提出的公理系統是歐氏幾何。
公理化方法
公理化方法經常被作為一個單一的方法或着一致的過程來討論。以歐幾里得為榜樣，它確實在很多世紀中被這樣對待：直到19世紀初葉，在歐洲數學和哲學中古希臘數學的遺產代表了智力成就（在幾何學家的風格中，更幾何的發展）的最高標準這件事被視為理所當然（例如在斯賓諾莎的著作中所述）。
這個傳統的方法中，公理被假設為不言自明的，所以無可爭辯，這在19世紀逐漸被掃除，這是隨着非歐幾何的發展，實分析的基礎，康托的集合論和弗雷格在數學基礎方面的工作，以及希爾伯特的公理方法作為研究工具的「新」用途而發生的。例如，群論在該世紀末第一個放到了公理化的基礎上。一旦公理被明確地提出（例如，逆元必須存在），該課題就可以自主的進展，無須參考這類研究的起源—變換群。
所以，現在在數學以及它所影響的領域中，至少有3種「模式」的公理化方法。調皮地說，可能的態度有：
- 接受我的公理，然後你就必須承認它們的推論。
- 我拒絕你的公理之一，並且採納另外的模型。
- 我的公理集定義了一個研究領域。
第一種情況是經典的演繹方法。第二種採用了博學點，一般化這個口號；它和概念可以和應該用某種內在的自然的廣泛性來表達的假設是一致的。第三種在20世紀數學中有顯著的位置，特別是在基於同調代數的課題中。
很顯然公理化方法在數學之外是有局限性的。例如，在政治哲學中，導致不可接受的結論的公理很可能被徹底拒絕；所以沒有人真的認同上面的第一個版本。
參見
註釋
- ^ 如果所賦予的意義是現實世界中的對象和關係，而不是像抽象模型那樣基於另外的公理系統，則這個模型稱為具體的。