八元數 （英語：Octonion ）是以實數構建的8維度賦範可除代數 ，為四元數 非結合 推廣的超複數 ，通常記為O 或
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
四元數 的組合。八元數不具備結合律 和交換律 ，但具備交錯代數 的特性，並保有冪結合性 。
也許是因為八元數的乘法不具備結合性，因此它們作為超複數 而言受關注的程度較四元數低。儘管如此，八元數仍然與數學中的一些例外結構有關，其中包括例外李群。此外，八元數在諸如弦理論 、狹義相對論 和量子邏輯
八元數第一次被描述於1843年，於一封約翰·格雷夫斯 威廉·盧雲·哈密頓 的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。[ 1] :168 後來八元數由阿瑟·凱萊 在1845年獨自發表。[ 2] 阿瑟·凱萊 發表的時間稍晚一些[ 3] [ 2] 凱萊數 或凱萊代數 。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。[ 4]
八元數可以視為實數 的八元組。八元數有多種構造方式。以凱萊-迪克森結構 為例，八元數可以表達為2個四元數 P Q P +Q l
p
0
+
p
1
i
+
p
2
j
+
p
3
k
+
(
q
0
+
q
1
i
+
q
2
j
+
q
3
k
)
l
{\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}
l [ 5]
i
2
=
j
2
=
k
2
=
l
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,}
在這種定義下每一個八元數都是單位八元數 {1, i , j , k , l , il , jl , kl } 線性組合 。也就是說，每一個八元數x 都可以寫成[ 6]
x
=
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
l
+
x
5
i
l
+
x
6
j
l
+
x
7
k
l
{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}
其中係數x a [ 5]
i
2
=
j
2
=
k
2
=
l
2
=
(
i
l
)
2
=
(
j
l
)
2
=
(
k
l
)
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,}
八元數的加法是把對應的係數相加，就像複數 和四元數 一樣。根據線性，八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘法表 來決定。[ 6]
×
{\displaystyle \times }
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
l
{\displaystyle l}
i
l
{\displaystyle il}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
l
{\displaystyle l}
i
l
{\displaystyle il}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
−
1
{\displaystyle -1}
k
{\displaystyle k}
−
j
{\displaystyle -j}
i
l
{\displaystyle il}
−
l
{\displaystyle -l}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
j
l
{\displaystyle jl}
j
{\displaystyle j}
j
{\displaystyle j}
−
k
{\displaystyle -k}
−
1
{\displaystyle -1}
i
{\displaystyle i}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
−
l
{\displaystyle -l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
j
{\displaystyle j}
−
i
{\displaystyle -i}
−
1
{\displaystyle -1}
k
l
{\displaystyle kl}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
i
l
{\displaystyle il}
−
l
{\displaystyle -l}
l
{\displaystyle l}
l
{\displaystyle l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
−
1
{\displaystyle -1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
i
l
{\displaystyle il}
i
l
{\displaystyle il}
l
{\displaystyle l}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
j
l
{\displaystyle jl}
−
i
{\displaystyle -i}
−
1
{\displaystyle -1}
−
k
{\displaystyle -k}
j
{\displaystyle j}
j
l
{\displaystyle jl}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
l
{\displaystyle l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
−
j
{\displaystyle -j}
k
{\displaystyle k}
−
1
{\displaystyle -1}
−
i
{\displaystyle -i}
k
l
{\displaystyle kl}
k
l
{\displaystyle kl}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
i
l
{\displaystyle il}
l
{\displaystyle l}
−
k
{\displaystyle -k}
−
j
{\displaystyle -j}
i
{\displaystyle i}
−
1
{\displaystyle -1}
一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為e a a =0, 1,..., 7 [ 7]
{
e
0
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
e
4
,
e
5
,
e
6
,
e
7
}
,
{\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}
當中的
e
0
{\displaystyle e_{0}}
x [ 8]
x
=
x
0
e
0
+
x
1
e
1
+
x
2
e
2
+
x
3
e
3
+
x
4
e
4
+
x
5
e
5
+
x
6
e
6
+
x
7
e
7
,
{\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}
[ 9] :5 其中xi ei 四元數 的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出[ 7] {1, i , j , k , l , il , jl , kl }
p
0
+
p
1
i
+
p
2
j
+
p
3
k
+
(
q
0
+
q
1
i
+
q
2
j
+
q
3
k
)
l
{\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}
[ 10]
e
i
e
j
{\displaystyle e_{i}e_{j}}
[ 11]
e
j
{\displaystyle e_{j}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
i
{\displaystyle e_{i}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
除了主對角線上以及
e
0
{\displaystyle e_{0}}
該表可總結如下：[ 12]
e
i
e
j
=
{
e
j
,
if
i
=
0
e
i
,
if
j
=
0
−
δ
i
j
e
0
+
ε
i
j
k
e
k
,
otherwise
{\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
其中δij 克羅內克δ函數 （當且僅當i = j εijk 完全反對稱張量 ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365[ 9]
然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是
e
0
=
1
{\displaystyle e_{0}=1}
{
e
0
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
e
4
,
e
5
,
e
6
,
e
7
}
,
{\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}
[ 13]
這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 e 1 e 2 = e 4 e n
i
j
k
l
{\displaystyle ijkl}
[ 14]
此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為
1
,
i
,
j
,
k
,
L
,
m
,
n
,
o
{\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o}
[ 15]
一個更加系統的定義八元數的方法，是通過凱萊-迪克松構造 。就像四元數可以用一對複數來定義一樣，八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
[ 8] :153
(
a
,
b
)
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
d
∗
b
,
d
a
+
b
c
∗
)
{\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}
其中
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
z
{\displaystyle z}
[ 16]
八元數的乘積的簡單記憶。 一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法，由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線（經過i 、j 和k 的圓也視為一條直線），稱為法諾平面 [ 17] Im(
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
[ 18]
設(a , b , c ) [ 18]
ab = c ，ba = −c 以及它們的循環置換 [ 18]
1是乘法單位元，
對於圖中的每一個點，都有
e
2
=
−
1
{\displaystyle e^{2}=-1}
完全定義了八元數的乘法結構。七條直線的每一條都生成了
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
[ 8] :151-152
八元數
x
=
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
l
+
x
5
i
l
+
x
6
j
l
+
x
7
k
l
{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}
的共軛為：
x
∗
=
x
0
−
x
1
i
−
x
2
j
−
x
3
k
−
x
4
l
−
x
5
i
l
−
x
6
j
l
−
x
7
k
l
.
{\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}
當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反 。因此若將八元數單位表達為{e 1 , e 2 ... e 7 } [ 9] :6
x
∗
=
x
¯
=
x
0
e
0
−
x
i
e
i
,
i
=
1
,
2
⋯
7
{\displaystyle x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7}
共軛是
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
對合 ，滿足
(
x
y
)
∗
=
y
∗
x
∗
{\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
[ 16]
x 的實數部分定義為
R
e
(
x
)
=
x
+
x
∗
2
=
x
0
{\displaystyle \mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}}
I
m
(
x
)
=
x
−
x
∗
2
{\displaystyle \mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}}
[ 16]
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
Im(
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
[ 8] :186
八元數x 的範數 可用與自身共軛的積
‖
x
‖
2
=
x
∗
x
{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x}
[ 16]
‖
x
‖
=
x
∗
x
{\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}
在這裡，平方根 是定義良好的，因為
x
∗
x
=
x
x
∗
{\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}
[ 註 1]
‖
x
‖
2
=
x
∗
x
=
x
0
2
+
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}
這個範數與
R
8
{\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}
歐幾里得範數 是一致的。
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
逆元素 。x ≠ 0[ 16] [ 9] :6
x
−
1
=
x
∗
‖
x
‖
2
{\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}
它滿足
x
x
−
1
=
x
−
1
x
=
1
{\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}
八元數的乘法既不是交換 的：[ 9] :6
i
j
=
−
j
i
≠
j
i
{\displaystyle ij=-ji\neq ji\,}
也不是結合 的：[ 5] :41
(
i
j
)
l
=
−
i
(
j
l
)
≠
i
(
j
l
)
{\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,}
然而，八元數確實滿足結合性的一個較弱形式──交錯性 [ 9] :2 。這就是說，由任何兩個元素所生成的子代數 [ 9] :3 實際上，我們可以證明，由
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
四元數 不一樣。[ 9]
八元數確實保留了
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
‖
x
y
‖
=
‖
x
‖
‖
y
‖
{\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}
這意味着八元數形成了一個非結合的賦範可除代數 。所有由凱萊-迪克松構造 所定義的更高維代數都不滿足這個性質，因為它們都存在零因子 。[ 19]
這樣，實數域上唯一的賦範可除代數是
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
可除代數 [ 8] :155
由於八元數不是結合的，因此
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
擬群 。
八元數的自同構 A ，是
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
線性變換 ，滿足：
A
(
x
y
)
=
A
(
x
)
A
(
y
)
.
{\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).\,}
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
群 ，稱為G 2 [ 21] [ 9] G 2 單連通 、緊緻 、14維的實李群 。[ 22] 例外李群 [ 23]
^ 在範數可良好定義的前提下，
x
+
x
∗
2
∈
R
{\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R} }
x
∗
x
>
0
{\displaystyle x^{*}x>0}
[ 16]
x
∗
x
=
x
x
∗
{\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}
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可數集
自然數 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
整數 (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
有理數 (
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
規矩數 代數數 (
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
周期 可計算數 可定義數 高斯整數 (
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
艾森斯坦整數 合成代數
可除代數 實數 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
複數 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
四元數 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元數 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
凱萊－迪克森結構
實數 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
複數 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
四元數 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元數 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
十六元數 (
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
三十二元數 六十四元數 一百二十八元數 二百五十六元數…… 分裂 其他超複數 其他系統
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
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