在工程中，傳遞函數 （英語：transfer function ，也稱系統函數 [ 1] 轉移函數 或網絡函數 ，畫出的曲線叫做傳遞曲線 ）是用來擬合或描述黑箱模型 （系統 ）的輸入與輸出之間關係的數學表示。在二維圖像的應用中，輸入和輸出的位圖 間的關係函數稱作轉移曲線 、轉換曲線 （transfer curve ）或特徵曲線 （characteristic curve ）。
通常它是零初始條件和零平衡點下，以空間或時間頻率為變量表示的線性時不變系統 （LTI）的輸入與輸出之間的關係。[ 2] 二端口網絡 中的輸出電壓作為輸入電壓的一個函數）而不使用變換到S平面 上的結果。[ 3] [ 4] [ 5]
傳遞函數 通常用於分析諸如單輸入、單輸出的濾波器 系統中，主要用在信號處理 、通信理論 、控制理論 。這個術語經常專門用於如本文所述的線性時不變系統 （LTI）。實際系統基本都有非線性 的輸入輸出特性，但是許多系統在標稱參數範圍內的運行狀態非常接近於線性，所以實際應用中完全可以應用線性時不變系統理論 表示其輸入輸出行為。
簡單說明一下，下面的描述都是以複數
s
=
σ
+
j
⋅
ω
{\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega }
σ
=
0
{\displaystyle \sigma =0}
s
=
j
⋅
ω
{\displaystyle s=j\cdot \omega }
拉普拉斯變換 簡化為實參
ω
{\displaystyle \omega }
傅里葉變換 。
那麼，對於最簡單的連續時間 輸入信號
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)}
拉普拉斯變換
X
(
s
)
=
L
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}
拉普拉斯變換
Y
(
s
)
=
L
{
y
(
t
)
}
{\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}
Y
(
s
)
=
H
(
s
)
X
(
s
)
{\displaystyle Y(s)=H(s)\,X(s)}
或者
H
(
s
)
=
Y
(
s
)
X
(
s
)
=
L
{
y
(
t
)
}
L
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}
在離散時間 系統中，應用Z變換 ，傳遞函數可以類似地表示成
H
(
z
)
=
Y
(
z
)
X
(
z
)
{\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}}
這常常被稱為脈衝傳遞函數。
考慮一個常係數線性微分方程
L
[
u
]
=
d
n
u
d
t
n
+
a
1
d
n
−
1
u
d
t
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
1
d
u
d
t
+
a
n
u
=
r
(
t
)
{\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}
其中 u 和 r 是 t 的適當的光滑函數。L 是相關函數空間上定義的，將 u 變換為 r 的算子。這種方程可以用於以強迫函數 r 為變量約束輸出函數 u 。傳遞函數寫成算子
F
[
r
]
=
u
{\displaystyle F[r]=u}
L 的右逆，因為
L
[
F
[
r
]
]
=
r
{\displaystyle L[F[r]]=r}
這個常係數齊次微分方程
L
[
u
]
=
0
{\displaystyle L[u]=0}
u
=
e
λ
t
{\displaystyle u=e^{\lambda t}}
特徵多項式
p
L
(
λ
)
=
λ
n
+
a
1
λ
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
1
λ
+
a
n
{\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,}
在輸入函數 r 的形式也為
r
(
t
)
=
e
s
t
{\displaystyle r(t)=e^{st}}
u
=
H
(
s
)
e
s
t
{\displaystyle u=H(s)e^{st}}
L
[
H
(
s
)
e
s
t
]
=
e
s
t
{\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}
H
(
s
)
=
1
p
L
(
s
)
,
p
L
(
s
)
≠
0.
{\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}},\qquad p_{L}(s)\neq 0.}
把那當作傳遞函數 的定義需要注意區分實數和複數的差異。這是受到 abs(H(s)) 表示增益 ，而用 -atan(H(s)) 表示相位滯後 慣例的影響。傳遞函數的其他定義還有例如
1
/
p
L
(
i
k
)
{\displaystyle 1/p_{L}(ik)}
[ 6]
設普通線性非時變系統 的輸入為
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)\ }
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)\ }
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)\ }
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)\ }
拉普拉斯變換 為
X
(
s
)
=
L
{
x
(
t
)
}
≡
∫
0
∞
x
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\equiv \int _{0}^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt}
Y
(
s
)
=
L
{
y
(
t
)
}
≡
∫
0
∞
y
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int _{0}^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt}
那麼輸出與輸入之間通過傳遞函數
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)\ }
Y
(
s
)
=
H
(
s
)
X
(
s
)
{\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)\,}
並且傳遞函數為
H
(
s
)
=
Y
(
s
)
X
(
s
)
{\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}}
在信號分析與處理中，通常感興趣的系統的頻率響應，這時候經常使用頻響函數 來表示系統對於不同頻率諧波的響應特徵。頻響函數通常用傅里葉變換 表示，傅里葉變換是
s
=
j
ω
{\displaystyle s=j\omega }
拉普拉斯變換 的一個特例。頻響函數實際上是線性系統的穩態響應分量，只有再加上瞬態響應分量，才構成系統的全響應，即系統的傳遞函數。
當一個振幅 為
|
X
|
{\displaystyle |X|\ }
角頻率 為
ω
{\displaystyle \omega \ }
相位 為
arg
(
X
)
{\displaystyle \arg(X)\ }
諧波 信號
x
(
t
)
=
X
e
j
ω
t
=
|
X
|
e
j
(
ω
t
+
arg
(
X
)
)
{\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}}
其中
X
=
|
X
|
e
j
arg
(
X
)
{\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}
輸入到線性時不變系統 的時候，那麼對應的輸出為：
y
(
t
)
=
Y
e
j
ω
t
=
|
Y
|
e
j
(
ω
t
+
arg
(
Y
)
)
{\displaystyle y(t)=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))}}
且
Y
=
|
Y
|
e
j
arg
(
Y
)
{\displaystyle Y=|Y|e^{j\arg(Y)}}
注意，在線性非時變系統中，諧波信號輸入頻率
ω
{\displaystyle \omega \ }
相位延遲 （也就是傳遞函數引起的與頻率相關的正弦曲線延遲）為：
τ
ϕ
(
ω
)
=
−
ϕ
(
ω
)
ω
{\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}}
群延遲 （也就是傳遞函數引起的與頻率相關的正弦曲線包絡線延遲）通過計算相位延遲對於角頻率
ω
{\displaystyle \omega \ }
τ
g
(
ω
)
=
−
d
ϕ
(
ω
)
d
ω
{\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}}
頻率響應
H
(
j
ω
)
{\displaystyle H(j\omega )}
A
(
ω
)
{\displaystyle A(\omega )}
G
(
ω
)
{\displaystyle G(\omega )}
ϕ
(
ω
)
{\displaystyle \phi (\omega )}
G
(
ω
)
=
|
Y
|
|
X
|
=
|
H
(
j
ω
)
|
{\displaystyle G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|\ }
ϕ
(
ω
)
=
arg
(
Y
)
−
arg
(
X
)
=
arg
(
H
(
j
ω
)
)
{\displaystyle \phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega ))}
並可由此繪出系統的幅頻特性曲線與相頻特性曲線，總稱波特圖 。
頻率響應也可以按其實部與虛部分解表示為：
H
(
j
ω
)
=
Re
(
ω
)
+
j
Im
(
ω
)
{\displaystyle H(j\omega )=\operatorname {Re} (\omega )+j\operatorname {Im} (\omega )}
並由此繪出系統頻率響應的奈奎斯特曲線 。
不管是使用拉普拉斯變換還是傅立葉變換，它們都將時間域上系統響應的卷積 運算轉化為對應的複數域或頻域上的代數（頻率相乘，相位相加）運算，並且可以直觀的揭示出系統對於信號頻率的作用。
在控制工程 和控制理論 中，傳遞函數是從拉普拉斯變換 推導出來的。傳遞函數是經典控制工程中的一個主要工具，但是，在分析多輸入多輸出（MIMO）系統的時候它就顯得很笨拙了，在分析這樣的系統的時候大部分被狀態空間 表示所代替。儘管這樣，經常也可以從任意的線性系統得到傳遞矩陣 用於分析它的動態及其它特性：傳遞矩陣中的每個元素都是與特定輸入和特性輸出相關的一個傳遞函數。
在光學 中調製傳遞函數 描述的是光學系統傳遞對比度的能力，是常用的像質評價方法之一。
例如，如果一系列的黑白交替條紋以一個特定的空間頻率畫出來，那麼當觀察這些條紋的時候，圖像質量可能發生退化。白色的條紋看起來變暗了，而黑色的條紋看起來變亮了。
忽略相位變化，在特定空間頻率的調製傳遞函數稱為調製傳遞函數 （英語：modulation transfer function ，MTF ）[ 7]
M
T
F
(
f
)
=
M
(
i
m
a
g
e
)
M
(
s
o
u
r
c
e
)
{\displaystyle \mathrm {MTF} (f)={\frac {M(\mathrm {image} )}{M(\mathrm {source} )}}}
其中調製（M）是根據下式從圖像或者光源亮度中導出來的：
M
=
(
L
m
a
x
−
L
m
i
n
)
(
L
m
a
x
+
L
m
i
n
)
{\displaystyle M={\frac {(L_{\mathrm {max} }-L_{\mathrm {min} })}{(L_{\mathrm {max} }+L_{\mathrm {min} })}}}
用MTF曲線的積分 值可以評價成像質量。理論上，像點的中心亮度值等於MTF曲線的面積。而面積越大，意味着像點中包含的信息越多，成像質量也就越好。不過，MTF曲線只能反映少數點的情況。[ 7]
許多非線性成分（如張弛振盪器 ）就不存在傳遞函數，[ 8] 描述函數 來近似。
^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger, Signals and systems , 2nd ed., Wiley, 2001, ISBN 978-0-471-98800-7 p. 50
^ The Oxford Dictionary of English, 3rd ed., "Transfer function"
^ M. A. Laughton; D.F. Warne. Electrical Engineer's Reference Book 16. Newnes. : 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5 ^ E. A. Parr. Logic Designer's Handbook: Circuits and Systems 2nd. Newness. 1993: 65 –66. ISBN 978-1-4832-9280-9 ^ Ian Sinclair; John Dunton. Electronic and Electrical Servicing: Consumer and Commercial Electronics . Routledge. 2007: 172 . ISBN 978-0-7506-6988-7 ^ Birkhoff, Garrett; Rota, Gian-Carlo. Ordinary differential equations. New York: John Wiley & Sons. 1978. ISBN 0-471-05224-8 [頁碼請求 ^ 7.0 7.1 郁道銀; 談恆英. 工程光学（第4版）. 機械工業. 2016-02-01. ISBN 9787111519621 ^ Valentijn De Smedt, Georges Gielen and Wim Dehaene. Temperature- and Supply Voltage-Independent Time References for Wireless Sensor Networks. Springer. 2015: 47. ISBN 978-3-319-09003-0
![{\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1504bd7d731876d14d76c5d4746a68e98d9f12)
![{\displaystyle F[r]=u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876c77d0dadd2671e078abf7c6d7532580222970)
![{\displaystyle L[F[r]]=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4513a4d4543e0afac921bb6153fd3a8b93dcf60)
![{\displaystyle L[u]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990bc74c22611d6fea8f4e1ef3d2bc1a16260f78)
![{\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bcdcfff13fb52c9dd094cbac10390cce1e50977)
