五級運算

表達式x[5]2的前三個值。3[5]2的值約為7.626×10¹²，更大的x因表達式的值太大而無法顯示在圖表上

在數學中，五級運算（亦稱超-5運算）是迭代冪次之後和六級運算之前的超運算。五級運算被定義為迭代冪次的迭代，如同迭代冪次是冪的迭代一樣。以下為首五級超運算級別：

1. 加法

   $a[1]b=a+b=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{b}$

2. 乘法

   $a[2]b=a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b}$

3. 冪

   $a[3]b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b}$

4. 迭代冪次

   $a[4]b={^{b}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{b}$

5. 五級運算

   $a[5]b={_{b}a}=\underbrace {^{^{^{^{^{^{a}}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{b}$

以上每一級超運算都是對上一級的迭代。例如，將五級運算和迭代冪次用超運算符號表示，$2[5]3$意味着2連續迭代取冪自己3次，即$2[4](2[4]2)$，可以計算出，$2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$

符號

關於五級運算的符號幾乎沒有達成共識，因此，有許多不同的方法來表記。但是，有些符號的使用較其他符號更廣泛，有些符號具有明顯的優缺點。

• 五級運算可以超運算符號表示，如$a[5]b$。在這種表記方法中，$a[3]b$，即冪運算，可以解釋為函數$x\mapsto a[2]x$從1開始迭代$b$次的結果；類似地，迭代冪次$a[4]b$表示函數$x\mapsto a[3]x$從1開始迭代b次的結果；五級運算$a[5]b$表示函數$x\mapsto a[4]x$從1開始迭代b次的結果。這也是本文大部分所使用的符號。

• 在高德納箭號表示法中，$a[5]b$表示為$a\uparrow \uparrow \uparrow b$或$a\uparrow ^{3}b$。在這個記法中，$a\uparrow b$表示冪運算，而$a\uparrow \uparrow b$代表迭代冪次。通過繼續添加箭頭，該記法可以輕鬆地表記更高級的超運算。

• 在康威鏈式箭號表示法中，$a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$。

• 另一個建議的符號是${_{b}a}$，儘管這不能擴展到更高級的超運算。

例子

五級運算的值也可以從阿克曼函數的變量值表的第四行中的值中獲得：如果$A(n,m)$由阿克曼遞歸關係$A(m-1,A(m,n-1))$與初始條件$A(1,n)=an$和$A(m,1)=a$定義，那麼$a[5]b=A(4,b)$。

五級運算是迭代冪次的迭代，而其基本運算（迭代冪次）尚未擴展到非整數高度，所以五級運算$a[5]b$當前亦僅對整數a和b有定義，其中a>0且b≥-1，以及一些其他可能有唯一定義的整數值。與所有三級（冪）及更高級的超運算一樣，五級運算具有以下適用於所有定義域內a和b的值的基本恆等式：

• $1[5]b=1$
• $a[5]1=a$

此外，我們還可以定義：

• $a[5]0=1$
• $a[5](-1)=0$

五級運算生成大數的速度非常快，因此只有極少數非平凡的情況可以得出可以用常規符號表記的數，如下表所記，其中$\exp _{10}(n)=10^{n}$。

$x$	$x[5]2$	$x[5]3$	$x[5]4$
1	1	1	1
2	4	65,536	$\exp _{10}^{65533}(4.29508)$
3	7,625,597,484,987	$\exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$
4	$\exp _{10}^{3}(2.19)$ （超過10153位）
5	$\exp _{10}^{4}(3.33928)$（超過10102184.1257220888位）

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