二分法 (數學)

關於有序數組上的查找算法，請見「二分查找」。

二分法（英語：Bisection method），是一種方程式根的近似值求法。

演算法

若要求已知函數 f(x) = 0 的根 (x 的解)，則:

1. 先找出一個區間 [a, b]，使得f(a)與f(b)異號。根據介值定理，這個區間內一定包含著方程式的根。
2. 求該區間的中點$m={\frac {a+b}{2}}$，並找出 f(m) 的值。
3. 若 f(m) 與 f(a) 正負號相同則取 [m, b] 為新的區間, 否則取 [a, m].
4. 重複第2和第3步至理想精確度為止。

例子

例: 求方程 $\sinh x=\cos x\!$ 的解, 其中 sinh 是雙曲正弦、cos 是餘弦 及 x 以弧度量度.

1. 定義 f(x) = $\sinh x-\cos x\!$。因此這裏是要求 f(x) = 0 的根。
2. 畫出 y = f(x) 可大約得知其根約在 0.5 和 1 之間，故使初始區間的 [0.5, 1]。
3. 此區間之中點為 0.75。
4. 因 f(0.5) ≈ -0.3565, f(0.75) ≈ 0.0906，其正負號不同，故令新區間為 [0.5, 0.75]
5. 又新區間的中點為 0.625, 而 f(0.625) ≈ -0.1445, 與 f(0.5) 正負號相同，故新區間為 [0.625, 0.75]。
6. 不斷重複運算即得 f(x) = 0 的根約為 0.7033。

偽代碼

二分法可用偽代碼表示如下：

輸入 f(x) 的定義
輸入 a 和 b 為初始區間
輸入 e 為目標誤差

 REPEAT:
   m:= (a + b) / 2
   IF f(m) * f(a) < 0 THEN
     b := m
   ELSE
     a := m
 UNTIL (b-a) / 2 < e

外部連結

• Bisection Method（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on Mathcad Application Server.
• Bisection Method Notes, PPT, Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica
• True example of using bisection method in computer programming free program to isoelectric point calculation

參見

• 介值定理