上昇時間
在電子學中,若要描述一電路在電壓(或電流)階躍函數下的反應,可用上昇時間(rise time)表示。上昇時間是信號從特定低準位上昇到特定高準位需要的時間[1],值可以用相對參考輸入的比率[2]或是百分比[3]來表示。在模擬電路中,其較低百分比及較高百分比多半會是輸出階躍高度的10%及90%(或0.1及0.9)[4]。不過,也常會使用其他的值[5]若是在控制理論中,依照Levine (1996,第158頁),上昇時間定義為「響應從終值的x%上昇到y%所需要的時間」,若是欠阻尼的二階系統,常會以0%至100%的上昇時間為準,若是臨界阻尼系統,則會是5%至95%的,過阻尼系統會是10%到90%的上昇時間[6]。依照Orwiler (1969,第22頁),上昇時間可以用在階躍上昇或是階躍下降的階躍響應,不過階躍下降的場合,有時也會稱是下降時間。[7],
簡介
上昇時間是高速電子電路中重要的類比參數,可以量測在高速輸入信號時,系統響應的能力[8]。針對電路、產生器、資料量測及傳輸設備的上昇時間,已有許多的方法可以進行縮減。這些縮減也開始了更高速電子元件或電路的研究,以及研究如何減少電路中的雜散元件(多半是電感及電容)。不過在高速電子學的領域之外,有些應用會希望有較長的上昇時間,例如燈光的調光器,其上昇時間較長會延長燈泡的壽命,或是用數位信號控制類比開關,較長的上昇時間表示流經雜散電容的量會比較少,因此耦合產生的噪音也會比較少。。
影響上昇時間的因素
針對給定系統的輸出,其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關,也和系統特特性有關[9]。
例如,電阻性電路的上昇時間主要會和雜散電容及雜散電感有關。因為所有電路都不只有電路性的元件,也會有電容性或電感性的元件,在負載到達穩態之前,會有電壓及(或)電流的延遲。若是純RC電路,輸出的上昇時間(10%至90%)約是電阻值(單位為歐姆)和電容值(單位為法拉)乘積的2.2倍,2.2 RC[10]。
其他定義
有關上昇時間,也有其他和Levine (1996,第158頁)不同的定義,偶爾會出現:[11]。這些定義的差異不只是參考準位的不同,也有些有不同的算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應50%時的切線,再繪圖計算和X軸的截距得到上昇時間,偶爾會用到這種定義[12]。另一種定義是由Elmore (1948,第57頁)引入[13],用到概率論及統計學的概念。考慮階躍響應 V(t),重新定義傳播延遲 tD為一次導數V′(t)的矩,也就是
最後,用以下的二次矩來定義上昇時間tr
典型系統的上昇時間
符號及標示
所有分析用到的符號及假設條列如下:
- 根據Levine (1996, p. 158, 2011, 9-3 (313)),定義x%為低準位的百分比,y%為高準位的百分比,參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
- t1是待分析系統的輸出到達穩態值x%的時間,而t2是輸出到達穩態值y%的時間,兩者單位都是秒。
- tr是待分析系統的上昇時間,單位也是秒。依照定義
- fL為待分析系統較低截止頻率(-3 dB點)的值,單位為赫茲。
- fH為待分析系統較高截止頻率的值,單位也是赫茲。
- h(t)是待分析系統在時域下的衝激響應。
- H(ω)是待分析系統在頻域下的頻率響應。
- 帶寬定義為
- 因為較低的截止頻率fL往往遠小於較高截止頻率fH,因此
- 所有分析的系統,其頻率響應都延伸到0(低通系統),因此
- 。
計算上昇時間的簡單範例
此章節的目的是計算一些簡單系統階躍響應的上昇時間。
高斯響應系統
系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下
其中σ > 0為常數[14],和高截止頻率有以下的關係:
即使這類的頻率響應無法用因果濾波器實現[15]。其用途是因為其系統特性可以用多個一級低通濾波器級聯連結而得,其精度會隨著個數增加而變好[16]。對應的衝激響應可以用頻率響應的反傅里葉變換計算而得。
直接代入階躍響應的定義
為了要確認系統由10%上昇到90%需要的時間,需要求解以下方程:
利用誤差函數的定義,可以找到t = - t1 = t2的數值,因為tr = t2 - t1 = 2t,
因此
一階低通RC電路
針對一階低通RC電路[18],10%至90%的上昇時間和網路時間常數τ = RC成正比:
比例常數可以用輸入信號為V0的階躍函數時,系統的階躍反應而得:
求解時間
最後可得
而t1及t2滿足以下條件
求解方程可得t1和t2的解析式
上昇時間和時間常數成正比[19]:
另外,根據
則
因為上截止頻率等於頻寬
另外,若考慮20%至80%的上昇時間,tr會變成:
一階低通LR電路
等於一個簡單的一階低通RL電路,其10%至90%的上昇時間和電路時間常數τ = L⁄R成正比。其和RC電路的差異只在於不同電路中時間常數τ的表示方式不同。因此可得到下式
阻尼二階系統
根據Levine (1996,第158頁),控制系統中欠阻尼系統的上昇時間定義為輸出從0%到達終值100%的時間[6]。二階欠阻尼系統的上昇時間如下[20]:
沒有零點的二階系統,其階躍響應下的正規上昇時間可以二次函數近似如下:
級聯模組的上昇時間
考慮n個非交聯的級聯模組組成的系統,每一個的上昇時間為tri, i = 1,...,n,其階躍響應沒有過沖,假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為trS.[21]。其輸出的上昇時間tr0為
依照Valley & Wallman (1948,第77–78頁),此結果可以用中心極限定理來說明,已由Wallman (1950)證明[22][23]。此問題的詳細分析可以參考Petitt & McWhorter (1961,§4–9, pp. 107–115),[24],他指出Elmore (1948)是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人[25]。
相關條目
腳註
- ^ rise time, Federal Standard 1037C, August 7, 1996 [2019-12-31], (原始內容存檔於2016-06-24)
- ^ 例如(Cherry & Hooper 1968,p.6 and p.306), (Millman & Taub 1965,第44頁) and (Nise 2011,第167頁).
- ^ 例如Levine (1996,第158頁), (Ogata 2010,第170頁) and (Valley & Wallman 1948,第72頁).
- ^ 例如(Cherry & Hooper 1968,p. 6 and p. 306), (Millman & Taub 1965,第44頁) and (Valley & Wallman 1948,第72頁).
- ^ 例如 Valley & Wallman (1948,p. 72, footnote 1)有提到:「有些應用會量測5%到95%的上昇時間,或是1%到99%的上昇時間。」
- ^ 6.0 6.1 精確來說,Levine (1996,第158頁)有提到:「上昇時間是從終值的x%上昇到y%需要的時間。若是過阻尼控制系統,多半會使用0%至100%的上昇時間,若是欠阻尼系統 (...) 多半會使用10%至90%的上昇時間。」。不過過阻尼二階控制系統使用0%至100%的上昇時間是不正確的,因為此定義下的上昇時間會是無限大。類似RC電路上昇時間的例子。在(Levine 2011,第9-3 (313)頁)的第二版也有類似的文字。
- ^ 仍是依照Orwiler (1969,第22頁)的定義
- ^ 依照Valley & Wallman (1948,第72頁)「若要複製階躍函數或是方波的上昇緣,最重要的參數就是上昇時間,一般是量測10%至90%之間的時間,另一個則是過沖。」,依照Cherry & Hooper (1969,第306頁) 「放大器在方波響應下,最重要的二個參數是上昇時間以及傾斜百分比。」
- ^ 參考(Orwiler 1969,第27–29頁)及級聯模組的上昇時間章節
- ^ 參考(Valley & Wallman 1948,第73頁)、(Orwiler 1969,p. 22 and p. 30)中的範例,或是一階低通RC電路章節
- ^ 可參考 (Valley & Wallman 1948,p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948,第56頁)。
- ^ 參考(Valley & Wallman 1948,p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948,p. 56 and p. 57, fig. 2a).
- ^ 參考(Petitt & McWhorter 1961,第109–111頁)
- ^ 參考(Valley & Wallman 1948,第724頁)及(Petitt & McWhorter 1961,第122頁).
- ^ 根據Paley-Wiener準則,像是(Valley & Wallman 1948,p. 721 and p. 724)中所提到的。Petitt & McWhorter (1961,第122頁)也簡單說明此事實
- ^ 參考(Valley & Wallman 1948,第724頁), (Petitt & McWhorter 1961,p. 111, including footnote 1, and p.)及(Orwiler 1969,第30頁).
- ^ 17.0 17.1 Compare with (Orwiler 1969,第30頁).
- ^ 也稱為「單極點濾波器」,例如(Cherry & Hooper 1969,第639頁)
- ^ 比較(Valley & Wallman 1948,p. 72, formula (2))、 (Cherry & Hooper 1969,p. 639, formula (13.3)) 或(Orwiler 1969,p. 22 and p. 30)的內容
- ^ See (Ogata 2010,第171頁).
- ^ "S表示「來源」,可能是電流源或電壓源
- ^ 這份一頁的論文沒有任何計算。Henry Wallman列出了一個他稱為詞典的表,將電子工程及概率論的概念並排。關鍵是使用拉普拉斯變換。接著他提到,依照詞典中這些概念的結果。計多級聯模組的階躍響應可以對應中心極限定理,並且提到:「這是重要的實務結果,前提是電路沒有過衝,其反應時間會隨著級聯個數而增加,約和個數的均方根成正比。」(Wallman 1950,第91頁).
- ^ 也可以參考(Cherry & Hooper 1969,第656頁) 及(Orwiler 1969,第27–28頁).
- ^ 由(Cherry & Hooper 1969,第656頁) 引用
- ^ 參考(Petitt & McWhorter 1961,第109頁).
參考資料
- Cherry, E. M.; Hooper, D. E., Amplifying Devices and Low-pass Amplifier Design, New York–London–悉尼市: 約翰威立: xxxii+1036, 1968.
- Elmore, William C., The Transient Response of Damped Linear Networks with Particular Regard to Wideband Amplifiers, 應用物理學雜誌, January 1948, 19 (1): 55–63 [2019-12-31], doi:10.1063/1.1697872, (原始內容存檔於2016-11-14).
- Levine, William S., The Control Handbook, 博卡拉頓: CRC Press: xvi+1548, 1996, ISBN 0-8493-8570-9.
- Levine, William S., The Control Handbook: Control Systems Fundamentals 2nd, 博卡拉頓: CRC Press: xx+766, 2011 [1996], ISBN 978-1-4200-7362-1.
- Millman, Jacob; Taub, Herbert, Pulse, digital and switching waveforms, 紐約–聖路易斯–舊金山–多倫多–倫敦–悉尼: McGraw-Hill: xiv+958, 1965.
- National Communication Systems, Technology and Standards Division, >Federal Standard 1037C. Telecommunications: Glossary of Telecommunications Terms, FSC TELE, FED–STD–1037, Washington: General Service Administration Information Technology Service: 488, 1 March 1997.
- Nise, Norman S., Control Systems Engineering 6th, New York: [John Wiley & Sons: xviii+928, 2011 [2019-12-31], ISBN 978-0470-91769-5, (原始內容存檔於2017-12-09).
- Ogata, Katsuhiko, Modern Control Engineering 5th, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall: x+894, 2010 [1970], ISBN 978-0-13-615673-4.
- Orwiler, Bob, Vertical Amplifier Circuits (PDF), Circuit Concepts, 062-1145-00 1st, Beaverton, OR: Tektronix: 461, December 1969 [2019-12-31], (原始內容 (PDF)存檔於2021-06-08).
- Petitt, Joseph Mayo; McWhorter, Malcolm Myers, Electronic Amplifier Circuits. Theory and Design, McGraw-Hill Electrical and Electronics Series, New York–Toronto–London: McGraw-Hill: xiii+325, 1961.
- Valley, George E., Jr.; Wallman, Henry, §2 of chapter 2 and §1–7 of chapter 7, Vacuum Tube Amplifiers, MIT Radiation Laboratory Series 18, New York City: McGraw-Hill: xvii+743, 1948.
- Wallman, Henry, Transient response and the central limit theorem of probability, Taub, A. H. (編), Electromagnetic Theory (Massachusetts Institute of Technology, July 29–31 1948), Proceedings of Symposia in Applied Mathematics 2, Providence: American Mathematical Society: 91, 1950, MR 0034250, Zbl 0035.08102.