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三線坐標

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平面幾何中,一點關於給定三角形三線坐標描述了它到三角形三條邊的相對距離。三線坐標是齊次坐標的一個例子,經常簡稱為三線

例子

內心有三線1:1:1,這就是說,從三角形ABC的內心到邊BCCAAB的有向距離和實際距離有序三元組(r, r, r)成比例,這裡r是三角形ABC內切圓的半徑。注意到記號x:y:z用比例冒號區分三線和實際有向距離。實際距離有序三元組(kx, ky, kz),能從比例x : y : z得到,利用面積關係不難算得

這裡a, b, c分別是邊長BCCAAB,σ = ABC的面積。(「逗號記法」應該避免使用。因為記號(x, y, z)意味着是一個有序三元組,不允許(x, y, z) =(2x, 2y, 2z)之類運算;然而「比號記法」允許x : y : z = 2x : 2y : 2z。)

ABC不僅表示三角形的頂點,也是在相應頂點的角。一些熟知點的三線如下:

  • A = 1 : 0 : 0
  • B = 0 : 1 : 0
  • C = 0 : 0 : 1
  • 內心 = 1 : 1 : 1
  • A-旁心 = −1 : 1 : 1
  • B-旁心 = 1 : −1 : 1
  • C-旁心 = 1 : 1 : −1
  • 外心 = cos A : cos B : cos C
  • 垂心 = sec A : sec B : sec C
  • 九點圓圓心 = cos(BC): cos(CA): cos(AB
  • 重心 = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 1/c = csc A : csc B : csc C
  • 類似重心 = a : b : c = sin A : sin B : sin C

注意到,內心一般不是重心,重心有重心坐標1:1:1(它們和實際有向面積BGCCGAAGB成比例,這裡G = 重心)。

公式

利用三線坐標可將許多代數方法運用於三角形幾何。比如,三點

P = p : q : r
U = u : v : w
X = x : y : z

共線的,當且僅當行列式

等於0。這性質的對偶是三條直線

pα + qβ + rγ = 0
uα + vβ + wγ = 0
xα + yβ + zγ = 0

交於一點(若無窮遠點,即平行)當且僅當D = 0

另外可算得三角形PUX的面積= KD,這裡K = abc/8σ2,如果PUXABC 定向相同,定向相反則K = - abc/8σ2

許多三次曲線用三線容易表示。比如,中樞自等共軛三次曲線Z(U,P),作為點X的軌跡使得XP-等共軛點位於直線UX上,由行列式方程

確定。一些有名的三次曲線Z(U,P)

Thomson三次曲線:Z(X(2),X (1)),這裡X (2) = 重心X (1) = 內心
Feuerbach三次曲線:Z(X(5),X (1)),這裡X (5) = 費爾巴哈點
Darboux三次曲線:Z(X(20),X (1)),這裡X (20) = De Longchamps點英語De Longchamps point
Neuberg三次曲線:Z(X(30),X (1)),這裡X (30) = 歐拉無窮遠點

坐標變換

一點具有三線α : β : γ,則重心坐標為 :  : ,這裡a, b, c是三角形三條邊長。相反地,重心坐標為α : β : γ的點有三線α/a : β/b : γ/c

三線坐標和2維笛卡爾坐標之間存在轉換公式。給定一個參考三角形ABC,將頂點B的位置表示成一個笛卡爾坐標的有序組,將其代數地寫成一個以頂點C為起點的向量a。類似地定義頂點Ab。然後任何點P關於參考三角形ABC能定義一個2維笛卡爾坐標系,寫成向量p = αa + βb。如果點P有三線坐標x:y:z,那麼變換公式是:

反過來,

外部連結