一般線性模型

一般線性模型（general linear model, multivariate regression model）是一個統計學上常見的線性模型。這個模型在計量經濟學的應用中十分重要。不要與多元線性回歸，廣義線性模型或一般線性方法相混淆。

其公式一般寫為：

$\mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,$

其中Y是一個包含反應變量的矩陣。X是一個包含獨立自變量的設計矩陣。B是一個包含多個估計參數的矩陣。U 是一個包含誤差和剩餘項的矩陣。通常假設誤差在測量之間是不相關的，並遵循多元正態分布。如果誤差不遵循多元正態分布，則可以使用廣義線性模型來放寬關於Y和U的假設。

一般線性模型包含許多不同的統計模型：ANOVA，ANCOVA，MANOVA，MANCOVA，普通線性回歸，t檢驗和F檢驗。一般線性模型是對多於一個因變量的情況的多元線性回歸的推廣。如果Y，B和U是列向量，則上面的矩陣方程將表示多元線性回歸。

使用一般線性模型的假設檢驗可以通過兩種方式進行：多變量或多個獨立的單變量檢驗。在多變量測試中，Y的列一起測試，而在單變量測試中，Y列獨立地測試，即作為具有相同設計矩陣的多個單變量測試。

多元線性回歸

多元線性回歸是簡單線性回歸到多個自變量的概括，以及一般線性模型的特例，僅限於一個因變量。多元線性回歸的基本模型是

$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\beta _{3}X_{i3}+...+\beta _{p}X_{ip}+\varepsilon _{i}$

對於每個觀察值，i = 1，...，n。

在上面的公式中，我們考慮 n 個觀察一個因變量和 p 個獨立變量。因此，$Y_{i}$是因變量的第 i 個觀察值，$X_{ij}$是對第 j 個自變量的第 i 個觀察值，j = 1,2，...，p。值$\beta _{j}$表示參數進行估計，並且$\varepsilon _{i}$是第 i 個獨立同分布正常的錯誤。

在更一般的多元線性回歸中，對於 m > 1 個因變量中的每一個，存在上述形式的一個等式，其共享相同的解釋變量集並因此彼此同時估計：

$Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}X_{i1}+\beta _{2j}X_{i2}+...+\beta _{pj}X_{ip}+\varepsilon _{ij}$

觀察值 i = 1，...，n，因變量 j = 1，...， m。

應用

一般線性模型的應用出現在科學實驗的多腦掃描分析中，其中Y包含來自腦掃描儀的數據，X包含實驗設計變量和混淆值。 它通常以單變量方式進行測試（在此設置中通常稱為質量單變量），通常稱為統計參數映射。

參考文獻

• Christensen, Ronald. Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models Third. New York: Springer. 2002. ISBN 0-387-95361-2. 
• Wichura, Michael J. The coordinate-free approach to linear models. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. 2006: xiv+199. ISBN 978-0-521-86842-6. MR 2283455. 
• Rawlings, John O.; Pantula, Sastry G.; Dickey, David A. (編). Applied Regression Analysis. Springer Texts in Statistics. 1998. ISBN 0-387-98454-2. doi:10.1007/b98890.