用户:Peterjiang/我的沙盒2

二刻尺 (希腊语 neuein)是一种几何作图的工具，在古希腊时期曾经和圆规、直尺一样是在尺规作图中合法的作图工具。

构造

二刻尺与一般尺规作图所用的尺不同，尺规作图用的尺上不能有刻度，而二刻尺上有两个刻度。

使用方法

在尺规作图中，尺被视为可以画无限长直线的工具，但只能用来将两点连接起来。而二刻尺除了可以将两点连接起来，还有以下用法，假设尺上的两刻度距离为a，有两条线l、m和点P，可以用二刻尺找到一条通过P的直线，使得此直线与l和m的交点距离为a。

如图，有两条线l、m和点P。可以将尺与点P对齐，并让其中一个刻度保持在l（图中黄点）上，慢慢转动尺，直到另一个刻度碰到m（图中蓝点），此线即为所求（图中深蓝色线）。

几何作图

二刻尺可以解出单用直尺和圆规无法解决的问题，例如三等分角和正七边形。

三等分角

已知角a，以B点为圆心，二刻尺刻度间距为半径画圆。
角a的两边其中一边交圆于A点，并画另一边的延长线。
将二刻尺固定在A点，并将两刻度一个移到圆上，另一个移到角a一边的延长线上，分别称为C点和D点。
角b即为角a的三等分角。

正七边形

以二刻尺刻度的间距画正方形CDEF。
以E点为圆心，CE为半径画圆E。
做DE的中垂线。
将二刻尺固定在D点，并将两刻度一个移到圆E上，另一个移到DE的中垂线上，分别称为B点和A点。
做三角形ADE的外接圆O。
以二刻尺刻度的间距为半径，画出G、H、I、J四点。
D、E、G、H、A、I、J七点即为正七边形。

倍立方

以二刻尺刻度的间距做AB=BC=CA=BD，且A、B、D共线。
将二刻尺固定在A点，并将两刻度一个移到CD的延长线上，另一个移到BC的延长线上，分别称为G点和H点。
AG的长度就是二刻尺刻度的间距的 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 倍。

二刻尺的没落

数学史学家T. L. Heath认为希腊数学家恩诺皮德斯^[1]（西元前440年左右）是第一个把圆规和直尺的地位提高的人。这种避免使用二刻尺的理念多少影响了同一时期、同一座岛上的Hippocrates of Chios^[2]（西元前430年左右）。100年后欧几里得在他的著作中也尽量避免使用二刻尺作图。

西元前四世纪，受到柏拉图的唯心主义影响，尺规作图被分成三个等级。这三个等级分别是：

只用圆和直线作图（一般的尺规作图）。
除了圆和直线，允许使用圆锥曲线作图（椭圆、抛物线、双曲线）。
使用其他方法作图（例如：二刻尺、阿基米德螺线）。

二刻尺被放再第三级是因为它可以解决前两级所不能解决的问题^[3]，因此二刻尺被当成解决问题的最终手段，这种简单而有力的作图工具也逐渐被当成不正当的作图工具。希腊数学家Pappus of Alexandria（西元前325年左右）认为：“这是一个不小的错误（a not inconsiderable error）”。

注解

^ 恩诺皮德斯是最早提出尺规作图原则的人
^ Hippocrates of Chios是我们目前所知第一个将几何作图条理化的人
^ 直尺、圆规和圆锥曲线最多只能解决二次方程的题目，而二刻尺至少可以解决三次方程的题目

参见

外部链接

[1] 恩诺皮德斯是最早提出尺规作图原则的人

[2] Hippocrates of Chios是我们目前所知第一个将几何作图条理化的人

[3] 直尺、圆规和圆锥曲线最多只能解决二次方程的题目，而二刻尺至少可以解决三次方程的题目

[1]

[2]

[3]