讨论:蒙提霍尔问题

一个小小疑惑

Ａ：车，Ｂ：山羊１，Ｃ：山羊２
以下是“所有”可能性：
－

• 先选Ａ

主持人选Ｂ,不变（Ａ）

主持人选Ｂ,变（Ｃ）

主持人选Ｃ,不变（Ａ）

主持人选Ｃ,变（Ｂ）

• 先选Ｂ

主持人选Ｃ,不变（Ｂ）

主持人选Ｃ,变（Ａ）

• 先选Ｃ

主持人选Ｂ,不变（Ｃ）

主持人选Ｂ,变（Ａ）

－
在以上的组合，可见变与不变亦是一半可能。
这个疑惑留待其他人解答。
—以上未签名的留言是由Roviury（对话 贡献）于2008年12月18日 (四) 17:22加入的。

解答：

问题出在于，所谓“所有”的可能性，发生的几率并不是相等的。虽然列出了4种情况（选手A，主持人B；选手A，主持人C；选手B，主持人C；选手C，主持人B）但其实前面两种情况发生的几率相等于第三种或第四种情况发生的几率。

选手选择A，B或C的几率，各是1/3

在选手选A的情况下，主持人选择B或C的几率各是一半，既是1/6。

在选手选B（或C）的情况下，主持人必定选择C（或B）。

所以，选择不变换决定，答对的可能性是“先选A”情况下的1/6+1/6，仍是1/3。

选择变换决定，则正确率为“先选A”及“先选B”情况，1/3+1/3，得2/3。

—以上未签名的留言是由138.246.7.112（对话 贡献）于2008年12月22日 (一) 09:52加入的。

疑问：

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。

参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。

参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。

貌似应为：

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。

参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。

参赛者挑汽车，主持人挑山羊二号。转换将失败。

参赛者挑汽车，主持人挑山羊一号。转换将失败。

—以上未签名的留言是由221.205.48.173（对话 贡献）于2008年12月24日 (三) 11:19加入的。

我认为这个解释或许可以解决以上的疑惑：
（实只是把138.246.7.112的文字解答重新演绎而已）
先假设所有选择发生的机会是均等
可能的选择及其结果（括号内为机率）：

初始选择	主持人展示	第二次选择	结果	发生机率
山羊一(1/3)	山羊二(1)	转换(1/2)	汽车	1/3 * 1 * 1/2 = 1/6 (A)
		不转换(1/2)	山羊	1/3 * 1 * 1/2 = 1/6 (B)
山羊二(1/3)	山羊一(1)	转换(1/2)	汽车	1/3 * 1 * 1/2 = 1/6 (C)
		不转换(1/2)	山羊	1/3 * 1 * 1/2 = 1/6 (D)
汽车(1/3)	山羊一(1/2)	转换(1/2)	山羊	1/3 * 1/2 * 1/2 = 1/12 (E)
		不转换(1/2)	汽车	1/3 * 1/2 * 1/2 = 1/12 (F)
	山羊二(1/2)	转换(1/2)	山羊	1/3 * 1/2 * 1/2 = 1/12 (G)
		不转换(1/2)	汽车	1/3 * 1/2 * 1/2 = 1/12 (H)

因转换而最后得汽车的概率
=转换且得汽车的概率 / 得汽车的概率
={A,C} / {A,C,F,H}
=(1/6+1/6) / (1/6+1/6+1/12+1/12)
=(1/3) / (1/2)
=2/3

因没有转换而最后得汽车的概率
=不转换且得汽车的概率 / 得汽车的概率
={F,H} / {A,C,F,H}
=(1/12+1/12) / (1/6+1/6+1/12+1/12)
=(1/6) / (1/2)
=1/3

因为 因没有转换而最后得汽车的概率(1/3) < 因转换而最后得汽车的概率(1/2)，所以转换增加得到汽车的机会

回复221.205.48.173：
“主持人挑山羊一号”或“主持人挑山羊二号”不就是“主持人挑两头山羊的任何一头”吗?
重点不是在于有多少个涉及转换的可能，而是各事件发生机会不均等
--域奇^(UTC) @ 2009年3月14日 (六) 21时01分 (UTC+8) 2009年3月14日 (六) 13:01 (UTC)

更简单易懂的解答

其实只要将没被参赛者指定的所有门作为一个整体来看待，问题就简单多了：

当参赛者挑选了一个门（A）之后，这个门后是汽车的概率为1/3，剩下两个门（B和C）作为一个整体的话概率为2/3。 而主持人打开剩下两个门当中一个有山羊的门（B）后，则剩下两个门（B和C）的概率仅仅由那个没打开的门（C）独自承担，因此那个门（C）的概率为2/3。

如果推广之，若为10个门，那些没被参赛者挑选的9个门后有一辆汽车的概率为9/10。当主持人挨个打开8个都是山羊的门之后，最后一个门独自承担所有9个门的概率，因此为9/10。这时候更改选择而获得汽车的概率则陡然增加（9倍）。 若是一万个门，则更改选择而获得汽车的概率为99.99%，我们则可以认为那是“一定”的了。--Jeffwang1840 2009年4月15日 (三) 08:28 (UTC)

概率没有“独自承担”的说法。--百楽兎 2009年10月22日 (四) 11:43 (UTC)

有关这个问题为什么不符合直觉

突然想到这个问题让人感到困惑是因为：看到这个问题的时候，一开始并没有明确第一次选择的目的。之后主持人所做的事让人感到比较意外，也就是说，直觉上不敢确认主持人放羊的规则。

而在你根本不知道主持人放羊的规则的时候，换一个门未必是好的选择。因为主持人可以这样：如果你第一次选的是羊，直接结束；如果你第一次选的是汽车，通过这种方式诱导你选错。

改变一下描述应该会容易理解一点： 首先，你选择两个门，主持人在这两个之中放出一只羊。然后你在剩下两个门里做出决定，选哪个会有更高的概率是汽车？

或者这么说： 主持人首先会放出一只羊，但是你要先指出一个门，主持人不会打开这个门。之后你在剩下的两个门中做出决定，尽量选到汽车。

应该明确的指出第一次选择不是为了选汽车。否则就会让人感到主持人的行为是一种意外的事件，完全是由主持人个人临时决定的。 --111.172.35.212 (留言) 2010年5月1日 (六) 09:03 (UTC)

我写了一段程序用于证明转换选择的概率确实是2/3，但是好冗长，估计不适合放进条目里吧。。。

就是这样。。。 --^{★监视狂人★} Joy Neop →_→ 2013年2月8日 (五) 04:50 (UTC)