LOCC

LOCC 是 Local Operations（局域操作）and Classical Communications（经典通讯）的缩写，它是一种用在量子信息上、对量子态进行操作的方法。简单的说，当一个量子系统被分成许多部份，每个部份的测量和操作只限制在该部分上，各个部分之间允许经典通讯，例如：打电话。许多量子信息的工作必须借由 LOCC 来完成，例如：假设某次实验室制备了一个贝尔态，但是却不能确定这个贝尔态是 $|\psi _{1}\rangle$ 还是 $|\psi _{2}\rangle$，其中 $|\psi _{1}\rangle$ 和 $|\psi _{2}\rangle$ 是

局域操作和经典通讯示意图

$|\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)$

$|\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)$

A和B两个量子位元是分隔两地的，并且由爱丽丝对量子位元A进行操作，由鲍勃对量子位元B进行操作。首先爱丽丝测量量子位元A并得到结果0，此时我们仍不知道当初实验室制备的贝尔态是 $|\psi _{1}\rangle$ 还是 $|\psi _{2}\rangle$。这时候爱丽丝借由打电话把结果告诉鲍勃，接著鲍勃对量子位元B进行测量并得到结果0，现在鲍勃得知波函数塌缩成 $|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}$，所以推得实验室制备的贝尔态是 $|\psi _{1}\rangle$。

纠缠转换

将一个量子系统分成两部分，利用 LOCC 操作，把一个纠缠态转换成另一个纠缠态。 举例说明：爱丽丝和鲍勃分别拥有一个纠缠态(纯态)的一部分，例如 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mid \uparrow \downarrow \rangle -\mid \downarrow \uparrow \rangle )$。爱丽丝和鲍勃都只能对各自的自旋进行操作，也就是Local Operation的意思。当然这个操作也包含测量，当爱丽丝进行S_z的测量后，得到本征值+ħ/2，波函数塌缩成 $\mid \uparrow \downarrow \rangle$，然后爱丽丝透过电话告诉鲍勃结果，这就是Classical Communications，鲍勃知道结果后也相应做了一个Local Operation，现在鲍勃做σ_x操作，于是波函数变为 $\mid \uparrow \uparrow \rangle$。如果刚才爱丽丝测得本征值-ħ/2，波函数塌缩成 $\mid \downarrow \uparrow \rangle$，则爱丽丝立即进行σ_x操作，然后经由电话告诉鲍勃，要求鲍勃不做任何操作，结果仍然可将波函数透过利用LOCC转换成 $\mid \uparrow \uparrow \rangle$。

显然利用 LOCC 把某个态 $|\psi \rangle$ 转换成 $|\phi \rangle$，A与B之间的纠缠只能变小或维持不变。但是并不是只要 $|\phi \rangle$ 的纠缠熵比 $|\psi \rangle$ 的纠缠熵还小就必定能透过 LOCC 作转换。要判断可不可转，首先，可以把 $|\psi \rangle$ 和 $|\phi \rangle$ 分别做施密特分解：

$|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}}}|a_{i}\rangle |b_{i}\rangle$

$|\phi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}'}}|a_{i}'\rangle |b_{i}'\rangle$

将Schmidt值由大至小排列然后进行比较。尼尔森(Nielsen)在1999年提出定理:

若Majorization

$\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'$,

对于所有 $k$ 都成立，则 $|\psi \rangle$ 可利用LOCC转换成 $|\phi \rangle$。

然而若上述条件不成立，并不表示 LOCC 转换必定不成立。如果允许引入催化态，LOCC 转换仍有可能的。

催化转换

Jonathan 和 Plenio 在尼尔森定理发表不久即给出一个催化转换的例子：考虑

$|\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle$

$|\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle$

$|c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle$

以上三个态已经过施密特分解且系数皆由大至小排列，以下进行 $|\psi \rangle$ 和 $|\phi \rangle$ 验算系数的前 $k$ 项之和：

$k$	$|\psi \rangle$	$|\phi \rangle$
0	0.4	0.5
1	0.8	0.65
2	0.9	1.0
3	1.0	1.0

以上表格中，若“$|\psi \rangle$ 的前 $k$ 项之和”比“$|\phi \rangle$ 的前 $k$ 项之和”小的话，填入绿色；大的话，填入红色；相等则是留下白色。如此一来，观察 $k$ 方向的颜色便一目了然。如果所有颜色皆为绿色，则表示 $|\psi \rangle$ 可经由LOCC转换成 $|\phi \rangle$；如果所有颜色皆为红色，则表示 $|\phi \rangle$ 可经由LOCC转换成 $|\psi \rangle$；如果颜色既有红色又有绿色，则说明若无催化态便不可转换。

那么什么是“催化转换”和“催化态”呢？我们考虑直积态 $|\psi \rangle |c\rangle$ 和 $|\phi \rangle |c\rangle$：

${\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}$

${\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}$

以上各项已按照由大至小排列，接著同样进行制作表格计算前 $k$ 项之和：

$k$	$|\psi \rangle |c\rangle$	$|\phi \rangle |c\rangle$
0	0.24	0.30
1	0.48	0.50
2	0.64	0.65
3	0.80	0.80
4	0.86	0.90
5	0.92	1.00
6	0.96	1.00
7	1.00	1.00

表格做完马上看出所有颜色皆为绿色，因此根据尼尔森定理，$|\psi \rangle |c\rangle$ 透过LOCC转换成 $|\phi \rangle |c\rangle$ 是可以的。由于 $|c\rangle$ 只是从直积态中直接加入然后转换完毕便可取走，很像化学反应中的催化剂，因此可称 $|c\rangle$ 是催化态。

塔库定理

2007年塔库（Turgut）证明了定理