Kalman–Yakubovich–Popov引理

Kalman–Yakubovich–Popov引理（Kalman–Yakubovich–Popov lemma）是系统分析及控制理论的结果，其中提到：给定一数$\gamma >0$，二个n维向量B, C，及n x n的赫维兹稳定矩阵 A（所有特征值的实部都为负值），若$(A,B)$具有完全可控制性，则满足下式的对称矩阵P和向量Q

$A^{T}P+PA=-QQ^{T}$

$PB-C={\sqrt {\gamma }}Q$

存在的充份必要条件是

$\gamma +2Re[C^{T}(j\omega I-A)^{-1}B]\geq 0$

而且，集合$\{x:x^{T}Px=0\}$是$(C,A)$的不可观测子空间。

此引理可以视为是稳定性理论李亚普诺夫方程的推广。建构了由状态空间A, B, C建构的线性矩阵不等式以及其频域条件的关系。

Kalman–Popov–Yakubovich引理最早是在1962年由Vladimir Andreevich Yakubovich写出且证明，当时列的是严格的频率不等式。允许等于的不等式是由鲁道夫·卡尔曼在1963年提出。在该文中也建立了Lur'e方程可解性的关系。两篇都是针对纯量输入系统。其控制维度的限制是在1964年被Gantmakher和Yakubovich放宽的，而Vasile M. Popov也独立得到相同结论。在中有针对此一主题的广泛探讨。

多变数Kalman–Yakubovich–Popov引理

给定$A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},M=M^{T}\in \mathbb {R} ^{(n+m)\times (n+m)}$，其中 $\det(j\omega I-A)\neq 0$针对所有$\omega \in \mathbb {R}$，且$(A,B)$有可控制性，则以下的叙述是等价的：

1. 针对所有$\omega \in \mathbb {R} \cup \{\infty \}$

   $\left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]^{*}M\left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]\leq 0$

2. 存在一矩阵$P\in \mathbb {R} ^{n\times n}$使得$P=P^{T}$且

   $M+\left[{\begin{matrix}A^{T}P+PA&PB\\B^{T}P&0\end{matrix}}\right]\leq 0.$

即使$(A,B)$不具有可控制性，对应上式的严格不等式仍成立。