马丁公理

在数学的集合论中，马丁公理（Martin's axiom）是一个由唐纳德·A·马丁和罗伯特·M·梭罗维引进的公理，这公理独立于惯常的、带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。这公理在连续统假设成立的状况下成立，但也与否定连续统假设的ZFC公理系统相容。

用较不正式的讲法，马丁公理讲的是任何小于连续统${\mathfrak {c}}$的基数，其行为会与$\aleph _{0}$大体类似。这公理背后的想法可借由研究罗修娃－西葛斯基引理的证明得知；而这是用以控制特定力迫论证的其中一个原则。

陈述

给定任意的基数$\kappa$，我们可以定义一个如下的陈述，并将这陈述给记做$\operatorname {MA} (\kappa )$：

对于任意满足可数链条件的偏序$P$及任意$P$的稠密集的集族$D$而言，若$D\leq \kappa$，则存在一个$P$上的滤子$F$，使得对于任意的$d\in D$而言，$F\cap d$非空。

由于这是一个使得${\textstyle \operatorname {MA} ({\mathfrak {c}})}$不成立的ZFC定理之故，因此马丁公理可表述如下：

马丁公理（MA）：对于任意的$\kappa <{\mathfrak {c}}$，$\operatorname {MA} (\kappa )$成立

在这情况（应用可数链条件）下，一个反链$A$是$P$的子集，且这子集使得$A$的任意两个元素不兼容（若在偏序中存在一个低于两者的共通元素，则说两个元素是兼容的），而这与树等情况下的反链是不同的。

${\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _{0})}$为真，而这即是罗修娃－西葛斯基引理。

${\textstyle \operatorname {MA} (2^{\aleph _{0}})}$为假：$\left[0,1\right]$是一个紧致豪斯多夫空间，因此是个可分空间并满足可数链条件。这集合没有孤立点，因此其中的点是无处稠密的；但这集合是$2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$这么多的点的联集。（也可参见下述的与$\operatorname {MA} ({\mathfrak {c}})$等价的条件）

与$\operatorname {MA} (\kappa )$等价的陈述

以下陈述与$\operatorname {MA} (\kappa )$等价：

• 若$X$是一个满足可数链条件的紧致豪斯多夫空间，那$X$不会是$\kappa$个或更少的无处稠密集的联集。
• 若$P$是一个上升的、满足可数链条件的偏序集，而$Y$是$P$的馀有限子集的集族，且$\left\vert Y\right\vert \leq \kappa$，则存在一个向上的集合$A$使得$A$会见所有$Y$的元素。
• 若$A$是一个满足可数链条件的非零布尔代数而$F$是$A$的子集的集族，且$\left\vert F\right\vert \leq \kappa$，那就存在一个布尔同态$\Phi :A\rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$，使得对于任意$F$中的$X$而言，要不有一个$a\in X$，使得$\Phi (a)=1$，要不有个$X$有个上界$b$，使得$\Phi (b)=0$

结果

马丁公理在组合数学、数学分析跟拓朴学上有许多有其他有趣的结果：

• 在波兰空间上的无原子σ-有限博雷尔测度中，$\kappa$个或更少的零测集依旧是零测集；不仅如此，实数集的$\kappa$个或更少的勒贝格测度为零的子集的联集，其勒贝格测度为零。
• 对于一个紧致豪斯多夫空间$X$而言，若$\left\vert X\right\vert \leq 2^{\kappa }$，则这空间是序列紧致的，也就是说这空间中的每个序列都有一个收敛子序列。
• 在$\mathbb {N}$上，没有任何非主要的超滤子的基本基数会小于$\kappa$。
• 等价地，对于任意的$x\in \beta \mathbb {N} \ \mathbb {N}$，有$\chi (x)\geq \kappa$，此处的$\chi$是$x$的特征，因此$\chi (\beta \mathbb {N} )\geq \kappa$。
• ${\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _{1})}$蕴含说满足可数链条件的拓朴空间的乘积依旧满足可数链条件，而这结果又蕴含说苏斯林线不存在。
• 若马丁公理成立，而连续统假设不成立，那就表示存在有非自由的怀特海群（Whitehead group）；细拉用这结果证明说怀特海问题独立于ZFC。

后续发展

• 马丁公理的一般化版本为真力迫公理以及马丁最大值。
• 谢尔顿·W·戴维斯（Sheldon W. Davis）在他的说中提出马丁公理是受到贝尔纲定理的启发而来的。

延伸阅读

• Fremlin, David H. Consequences of Martin's axiom. Cambridge tracts in mathematics, no. 84. Cambridge: Cambridge University Press. 1984. ISBN 0-521-25091-9. 
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.