饱和模型

在模型论中，饱和模型可以大致描述为一个实现够小的型的模型。

定义

令 κ 为一个基数，${\mathcal {M}}$ 为某个一阶语言中对某理论的模型。${\mathcal {M}}$ 被称作是 κ-饱和 的，当且仅当对所有基数小于 κ 的子集 $A\subset {\mathcal {M}}$，以 A 为参数的完备型都被 ${\mathcal {M}}$ 实现。${\mathcal {M}}$ 被称作是饱和的，当且仅当它是 $|{\mathcal {M}}|$-饱和的。

例子

• 有理数作为稠密全序的模型 $(\mathbb {Q} ,<)$ 是饱和的。
• 可数的随机图是饱和的。
• 自然数 $(\mathbb {N} ,S)$（其中 S 表后继元素）非饱和，因为以下公式

$x>S(0),x>S(S(0)),x>S(S(S(0)))\cdots$ 是相容的，因而包含于某个完备型，然而它无法在 $\mathbb {N}$ 中实现。

文献

• Chang, C. C.; Keisler, H. J. Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xvi+650 pp. ISBN 0-444-88054-2
• Marker, David (2002). Model Theory: An Introduction. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98760-6
• Poizat, Bruno; Trans: Klein, Moses (2000), A Course in Model Theory, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98655-3