非线性规划

在数学中，非线性规划是求解由一系列未知实函数组成的组方程和不等式（统称为约束）定义的最佳化问题，伴随着一个要被最大化或最小化的目标函数，只是一些约束或目标函数是非线性的。它是最优化处理非线性问题的一个子领域。

适用性

从一系列运输方法中选择优化运输成本的一个或多个表现规模经济的连通性和容量约束不同的非凸问题。例如从管道、铁路油槽车、罐车、河驳船或沿海油船中选择或组合的石油产品运输。由于经济批量大小，除了平滑变化之外，成本函数可以有不连续性。

现代工程实践涉及到大量的数值优化。除了在很少一部分重要情形（如无源电路）中，工程问题是非线性的，它们通常是非常复杂。

在实验科学中，一些简单的数据分析（如已知位置和形状但未知幅度的峰的总和的光谱的拟合）可以用线性方法来完成，但一般来说这些问题也是非线性的。通常研究的是含有变量参数的系统的理论模型以及含有未知参数的试验模型。可以试着用数值寻找最优值。这种情况下，除了最优值本身通常还需要对结果的精度进行量度。

定义

令 n、m、p为正整数。令 X 为 Rⁿ 的一个子集，令 f、g_i 和 h_j 为 X 的实值函数，对每个 i 属于 {1, …, m} 及每个 j 属于 {1, …, p}。

非线性最小化问题等效为下面形式的最佳化问题

${\begin{aligned}{\text{minimize }}&f(x)\\{\text{subject to }}&g_{i}(x)\leq 0{\text{ for each }}i\in \{1,\dotsc ,m\}\\&h_{j}(x)=0{\text{ for each }}j\in \{1,\dotsc ,p\}\\&x\in X.\end{aligned}}$

非线性最大化问题定义方式类似。

约束集的可能类型

约束集的性质有若干可能性，也被称为可行集或可行域。

无解问题（infeasible problem）是指没有一组变数可以满足所有的约束，也就是约束之间有互相矛盾的情形，没有解存在。

有解问题（feasible problem）是指至少有一组变数可以满足所有的约束条件。

无界限问题（unbounded problem）是一个有解问题，其变数没有上限限制，因此没有最佳解，因为总会有一组变数使得目标函数比其他组的变数有更好的结果。

求解问题的方案分析

1. 若目标函数f(x)为线性，约束的空间为多胞形，对应线性规划问题，采用著名的线性规划法求解。
2. 若目标函数为凹函数（最大化）或是凸函数（最小化），且约束为凸集，对应凸规划问题，常采用凸优化求解。若目标函数是凹函数和凸函数的比值（最大化问题）及约束为凸集，对应分数规划的方式转换为凸集的求解问题。
3. 许多方式可以解非凸集的问题。其一个方式是用线性规划问题的特殊公式；另一种方式则是用分支定界法：将问题分为几个可以用凸集法（最小化问题）求解或是线性近似的子集合，较小区域内的总成本会有一下限。在随后的分区后，在一些点上其成成本会等于所有近似解的下限，此解即为实际解。此解虽然不一定唯一，不过是为最佳解。若已确认可能的最佳解和已找到的解之间的误差在容许值内，可以提早结束此演算法。这些点称为ε-最佳。若要在有限内结束，一般就需要在ε-最佳点结束。尤其在大型的、困难的问题，或是问题有不确定的成本或价值，但不确定以由适当的信赖性估测所估测时，更需要在ε-最佳点结束的技巧。
4. 在可微函数及约束规范的条件下，卡罗需－库恩－塔克条件（KKT条件）是有最佳解的必要条件。在凸集的条件下，这也是充份条件。若其中有些函数是不可微分的，也可以用次导数条件的卡罗需－库恩－塔克条件。

例子

2维实例

线的交点及约束空间表示了该解。可达到的最优值轮廓线（目标值为给定值的轨迹）。

可以用下列约束来定义一个简单问题

x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

x₁² + x₂² ≥ 1

x₁² + x₂² ≤ 2

需要最大化的目标函数为

f(x) = x₁ + x₂

其中 x = (x₁, x₂)。解决二维问题 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

3维实例

位于中部的上面曲面与约束空间相交的部分表示解

用下面这些约束就可以定义另一个简单的问题

x₁² − x₂² + x₃² ≤ 2

x₁² + x₂² + x₃² ≤ 10

需要最大化的目标函数为

f(x) = x₁x₂ + x₂x₃

其中 x = (x₁, x₂，x₃). 解决三维问题 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。

应用

工程中用到非线性优化，例如建立储油池的计算模型， 或油气藏工程的决策制定。

参见

• 曲线拟合
• 最小二乘法
• 线性规划
• nl (文件格式)
• 最优化
• 最优化软件列表
• 维尔纳·费恩雪尔

延伸阅读

• Avriel, Mordecai (2003). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. ISBN 0-486-43227-0.
• Bazaraa, Mokhtar S. and Shetty, C. M. (1979). Nonlinear programming. Theory and algorithms. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-78610-1.
• Bertsekas, Dimitri P. (1999). Nonlinear Programming: 2nd Edition. Athena Scientific. ISBN 1-886529-00-0.
• Bonnans, J. Frédéric; Gilbert, J. Charles; Lemaréchal, Claude; Sagastizábal, Claudia A. Numerical optimization: Theoretical and practical aspects. Universitext Second revised ed. of translation of 1997 French. Berlin: Springer-Verlag. 2006: xiv+490 [2015-09-19]. ISBN 3-540-35445-X. MR 2265882. doi:10.1007/978-3-540-35447-5. （原始内容存档于2013-07-19）. 
• Luenberger, David G.; Ye, Yinyu. Linear and nonlinear programming. International Series in Operations Research & Management Science 116 Third. New York: Springer. 2008: xiv+546. ISBN 978-0-387-74502-2. MR 2423726. 
• Nocedal, Jorge and Wright, Stephen J. (1999). Numerical Optimization. Springer. ISBN 0-387-98793-2.
• Jan Brinkhuis and Vladimir Tikhomirov, 'Optimization: Insights and Applications', 2005, Princeton University Press

外部链接

• Nonlinear programming FAQ （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Mathematical Programming Glossary （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Nonlinear Programming Survey OR/MS Today
• Overview of Optimization in Industry （页面存档备份，存于互联网档案馆）