阿达马不等式

数学中的阿达马不等式给出一个基于n维复矩阵列向量的行列式值上界。当仅套用于实数时，其可以在欧几里得空间中，由n支向量$\mathbf {v} _{1}$, $\mathbf {v} _{2}$, $\ldots \mathbf {v} _{n}$标出的体积。'

这不等式的几何意义是当向量为正交集时体积最大。这结果相对于标量乘法齐次，所以只需证明单位向量$\mathbf {e} _{1}$, $\mathbf {e} _{2}$, $\ldots \mathbf {e} _{n}$的结果。在这情况，不等式指出：若$\mathbf {M}$是以$\mathbf {e} _{i}$为列向量的n× n 矩阵，则

$|\det(\mathbf {M} )|\leq 1$。

因此，向量$\mathbf {v} _{i}$的相应结果是

$|\det(\mathbf {A} )|\leq \prod \|\mathbf {v} _{i}\|$，

其中$\mathbf {A}$是以$\mathbf {v} _{i}$为列向量的矩阵，而$\|\mathbf {v} _{i}\|$是$\mathbf {v} _{i}$的欧几里得范数（长度）。（就是说若$\mathbf {v} _{i}$$=(x_{k})_{k=1}^{n}$，则

$\|\mathbf {v} _{i}\|$$={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}$。）

在组合数学中，使等式成立以及列向量$\mathbf {v} _{i}$的元素为+1和−1的矩阵是研究对象，它们称为阿达马矩阵。

外部链接

• 科学空间：体积与阿达马不等式 （页面存档备份，存于互联网档案馆）