关系范畴

关系范畴Rel.

Rel的反范畴Rel^op.

在数学上，关系范畴（记做Rel）指的是以集合为物件、以二元关系为态射的范畴。

在这个范畴中，其态射$R:A\longrightarrow B$是$A$与$B$之间的关系，因此$R\subseteq A\times B$

这范畴中两个关系$R:A\longrightarrow B$及$S:C\longrightarrow D$的合成由下式给出：

$(a,c)\in S\circ R$，若且唯若对于一些$b\in B$而言，$(a,b)\in R$且$(b,c)\in S$

关系范畴又被一些人称为“集合间对应的范畴”（category of correspondences of sets）。

性质

集合范畴是关系范畴的（宽）子范畴，其中集合范畴的态射$f:X\longrightarrow Y$对应至以$(x,y)\in F\iff f(x)=y$定义的关系$F\subseteq X\times Y$。

关系范畴中的态射为关系，而其相对应的、从其反范畴映至关系范畴的态射有著反向的箭头，因此这态射是个逆关系，因此关系范畴包含其反范畴且是个自双对。

由逆关系作代表所建构的对合为关系范畴提供了一个短剑结构，因此关系范畴是一个短剑范畴。

关系范畴有两个做为同态函子并映至自己的函子，其中一个是二元关系$R\subseteq A\times B$，另一个则是其转置$R^{T}\subseteq B\times A$，而这两个二元关系的两种合成关系分别为$RR^{T}$及$R^{T}R$，其中第一个合成关系$RR^{T}$给出了A上的齐次关系；而第二个合成关系$R^{T}R$则给出B上的齐次关系。由于这些函子是映至关系范畴自身的同态函子之故，因此这些同态函子是内部同态函子；而由于这些内部同态函子之故，因此关系范畴是个闭范畴，且是个短剑紧致范畴。

关系范畴可以克莱斯利范畴的形式，由集合范畴得到，在这种状况下，其有著以对应至幂集的函子为协变函子的单子。

一个第一眼看上去可能令人有点惊讶的事实是，关系范畴当中的乘法是以不相交联集（而非如集合范畴一般的笛卡尔积）定义的，而其馀积亦然。

就其幺半乘积$A\otimes B$与内部同态函子$A\implies B$而言，关系范畴是个闭幺半范畴。

关系范畴是Peter J. Freyd与Andre Scedrov在1990年给出的代数结构寓范畴的原型，他们自正则范畴与$F:A\longrightarrow B$出发，他们注意到了派生函子$Rel(A,B)\longrightarrow Rel(FA,FB)$的性质，像例如说这函子保存了合成、逆转跟相交等运算，而他们之后以这样的性质建构了寓范畴的公理。

关系作为物件

David Rydeheard与Rod Burstall认为关系范畴有著作为齐次关系物件，一个例子是$A$是一个集合而$R\subseteq A\times A$是一个二元关系；而这个范畴的态射是集合间保持关系的函数，在$S\subseteq B\times B$是第二个关系且$f:A\longrightarrow B$是一个使得$xRy\implies f(x)Sf(y),$成立的函数，那$f$是一个态射。

Adamek、Herrlich与Strecker三氏进一步发展了这想法，他们将物件$(A,R)$与$(B,S)$给设成（集合，关系）。

参考资料

• Francis Borceux. Handbook of Categorical Algebra: Volume 2, Categories and Structures. Cambridge University Press. 1994: 115 [2022-07-14]. ISBN 978-0-521-44179-7. （原始内容存档于2022-07-14）.