过剩数

以古氏积木展示12是一个过剩数：真因数之和超过自身

在数论中，过剩数又称作丰数或盈数，一般指的是真因数之和大于自身的一类正整数，严格意义上指的是因数和函数大于两倍自身的一类正整数。

定义

一般定义

一般而言，过剩数是指使得函数 $s(n)>n$ 的正整数 $n$，其中 $s(n)$ 指的是 $n$ 的真因数之和；$s(n)-n$ 称作 $n$ 的盈度或丰度。

例如，12除本身外的所有正因数为1、 2、 3、 4和6，由于 ${{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}=16$，且 $16>12$，因此12为过剩数，且12的丰度为 ${{16}-{12}}=4$。

严格定义

更为严格地说，过剩数是指使得函数 $\sigma _{1}(n)>2n$ 的正整数 $n$，其中 $\sigma _{1}(n)$ 指的是 $n$ 的所有正因数（包括 $n$）之和；$\sigma _{1}(n)-2n$ 称作 $n$ 的盈度或丰度。

在这种定义下，12的正因数有1、 2、 3、 4、 6和12，由于 ${{{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}+{12}}=28$，且 $28>12\times 2$，因此12为过剩数，且12的丰度为 ${{28}-{{12}\times {2}}}=4$。

性质

• 最小的偶过剩数构成数列（OEIS数列A005101）：

12、 18、 20、 24、 30、 36、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 72、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 100、 102 ……

• 最小的奇过剩数构成数列（OEIS数列A005231）：

945、 1575、 2205、 2835、 3465、 4095、 4725、 5355、 5775、 5985、 6435、 6615、 6825、 7245、 7425、 7875 ……

• 不能被2和3整除的最小过剩数是 5391411025，其质因数有 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23 和 29（OEIS数列A047802）。
• 亚努奇（Iannucci）在2005年给出了一个寻找不能被前$k$个质数整除的最小过剩数的演算法：若 $A(k)$ 表示不能被前 $k$ 个质数整除的最小过剩数，则当 $k$ 足够大时，对所有的 $\epsilon >0$，有

$(1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }$

• 除了完全数本身，完全数的倍数都是过剩数。例如，每个大于6之6的倍数都是过剩数，因为 $1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1$。
• 过剩数的倍数都是过剩数。例如，20是过剩数，20及其倍数也都是过剩数，因为 ${\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}$。
• 由于完全数的倍数都是过剩数，过剩数的倍数也都是过剩数，因此奇数和偶数的过剩数都有无限多个。

$a(n)/n$在$n<10^{6}$的分布情况（对数尺度）。其中$a(n)$为不超过$n$的过剩数个数。

• 过剩数的集合具有非零的自然密度，1998年 Marc Deléglise 证明了过剩数在自然数中的自然密度介于 0.2474 与 0.2480 之间。
• 若一个过剩数不是完全数或其他过剩数的倍数，则这个数称为本原过剩数。
• 若一个过剩数的丰度超过所有小于该数的过剩数的丰度，则这个过剩数称为高过剩数。
• 若一个过剩数的相对丰度 ${\frac {s\left(n\right)}{n}}$ 超过所有小于该数的过剩数的丰度，则这个过剩数称为超过剩数。
• 每个大于 20161 的整数都可以写成两个过剩数之和。
• 不是半完全数的过剩数称为奇异数。
• 丰度为1的过剩数称为准完全数，然而目前尚未找到准完全数。

相关概念

低于100的过剩数、本原过剩数、高过剩数、超过剩数、可罗萨里过剩数、高合成数、超级高合成数、奇异数和完全数与亏数和合数关系的欧拉图

• 与过剩数相关的概念是完全数（真因数和等于本身，即 $s(n)=n$ 或 $\sigma _{1}(n)=2n$）和亏数（真因数和小于本身，即 $s(n)<n$ 或 $\sigma _{1}(n)<2n$）。最早将自然数分为过剩数、完美数和亏数的是 Nicomachus 于公元前100年所著的 Introductio Arithmetica。
• $n$ 的丰度指数（过过剩指数）是指因数和与自身的比，即 ${\frac {\sigma _{1}\left(n\right)}{n}}$；若一组相异的数 $n_{1},n_{2},...$（无论是否为过剩数）拥有相同的丰度指数，则这些数互为友谊数。
• 记 $k$ 变化时，满足 $\sigma _{1}\left(n\right)>kn$ 的最小自然数 $n$ 构成数列 $a_{k}$（OEIS数列A134716），则 $a_{2}=12$，为第一个过剩数。$a_{k}$ 是一个增长速度很快的数列。
• 丰度指数超过3的最小奇数为 $1018976683725=$ ${\displaystyle }$$3^{3}\times 5^{2}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29$。

参见

• 高合成数
• 完全数
• 婚约数
• 亲和数
• 亏数
• 梅森素数
• 半完全数
• 佩服数