负频率

正频率与负频率的概念，可以简单用顺时针或逆时针转动的轮子来阐释：频率带正负号，就能同时表示转动方向和频率大小，其大小用转数每秒（赫兹）或弧度每秒作为单位（1转为2π弧度）。

正弦波

令ω为一非负参数，其单位为rad/sec（弧度每秒）。若角度φ随时间t变化的关系式为φ(t) = -ωt + θ，则式中斜率为-ω，称为负频率。但是当该角度用作馀弦函数的参数时，其结果便与cos(ωt − θ)没有区别。同样，sin(−ωt + θ)亦与sin(ωt − θ + π)没有区别。因此，任何正弦曲线皆能以正频率来表示，相位斜率所带有的正负号不再具有意义。

但若同时观察馀弦与正弦运算子时，便能确定频率的符号，因为若ω > 0，则cos(ωt + θ)比sin(ωt + θ)领先1/4圈（即π/2弧度）；反之，若ω < 0，则落后1/4圈。同理，一个向量(cos t, sin t)以1 rad/sec的角速度逆时针转动，每2π秒转完一圈，而向量(cos (−t), sin (−t))则以另一个方向转动。

复指数函数 $t\mapsto e^{i\omega t}$ 亦保留ω的正负号：

e^{i\omega t}=\underbrace {\cos(\omega t)} _{R(t)}+i\cdot \underbrace {\sin(\omega t)} _{I(t)},

^[1]

式1

因为实部R(t)与虚部I(t)能分别比较。虽然 $e^{i\omega t}$ 组合了sin和cos两个函数，所以似乎比两者含有更多资讯，但通常理解其为更简单的函数，因为

它简化了许多重要的三角运算。严格而言， $e^{i\omega t}$ 是 $\cos(\omega t)$ 的解析表示。
式1有以下推论：

$\cos(\omega t)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right),$ 式2

所以，也可以将 $\cos(\omega t)$ 理解成同时包含正负频率，但其和事实上有互相抵销，故其所含资讯是并非更多，反而更少。

应用

也许最为人熟知的负频率应用在于运算式 :

$X(\omega )=\int _{a}^{b}x(t)\cdot e^{-i\omega t}dt,$

此数测量的，是函数x在区间(a, b)的一段中，所含频率ω成份的强度。若取区间为(−∞, ∞)，对不同的ω求出 $X(\omega )$ ，则得到函数X，称为x的傅立叶变换。一个简单的解释是，两个复正弦波的乘积也是复正弦波，其频率为原始频率的总和。因此，当ω为正时，乘上 $e^{-i\omega t}$ 会使所有x(t)的频率都减少ω。x(t)恰好具有频率ω的部分，将变为零频率，即常数，而其振幅大小，即为其初始时频率为ω的讯号强度。而x(t)处于零频率的部分，则会变成频率为-ω的正弦波。同样，所有其他频率，经减少ω后，仍是非零频率。当区间(a,b)越来越长，常数的贡献会与区间长度成正比，越来越大。但是正弦波项的贡献，则仅会在零附近震荡。因此X(ω)作为在x(t)中频率值ω的相对量度将会提高。

$t\mapsto e^{i\omega t}$ 的傅立叶转换仅会在频率为ω时产生一个非零响应。 $t\mapsto \cos(\omega t)$ 的转换于ω与-ω处皆具有响应，与式2预测的一样。

正负频率采样和混叠

注释

^ 等式又称为欧拉公式。

参考资料

Positive and Negative Frequencies （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Lyons, Richard G. (Nov 11, 2010). Chapt 8.4. Understanding Digital Signal Processing (3rd ed.). Prentice Hall. 944 pgs. ISBN 0137027419.

[1] 等式又称为欧拉公式。

[1]