表面张力波

水面涟漪

挪威厄克斯内斯Lifjord 的涟漪

水滴产生的涟漪

表面张力波（英语：Capillary wave）是延著液体相边界行进的波，其动力学及相速度是由表面张力的效应所决定，在水面上的表面张力波常称为涟漪。

表面张力波是自然界常见的现象，其波长多半在数公分以内，而相速度约0.2-0.3公尺/秒。

若液体表面的波是受到表面张力、重力及液体惯性的影响，其波长会比较长，称为重力-表面张力波（gravity–capillary waves）。一般的重力波波长会更长。

涟漪可能是在开放水体中由微风所产生，在开放海域中，由风产生的小涟漪可能会造成大的波涛。

色散关系

色散关系说明在波当中波长和频率之间的关系。色散关系会出现在只受表面张力影响的纯表面张力波中，也会出现在由重力和表面张力影响的重力-表面张力波中。

一般的表面张力波

在表面张力波中的色散关系是

$\omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},$

其中ω是角频率，σ是表面张力，ρ是较重流体的密度，ρ'是较轻流体的密度，k是波数。其波长为 $\lambda ={\frac {2\pi }{k}}.$ 若在流体和真空中的边界，其色散关系简化为是

$\omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.$

重力-表面张力波

在深水表面的重力-表面张力波（上方的密度为0，ρ′ = 0）。相速度及群速度除以$\scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}$后，会是相对波长倒数的函数
 · 蓝线(A)：相速度，红线(B)：群速度
 · 实线：重力-表面张力波色散关系。
 · 点线：深水重力波的色散关系
 · 虚点线：实际深水重力波的色散关系

一般而言，水也会受到重力的影响，因此称为重力-表面张力波。若是无限深度的流体，其色散关系如下：

$\omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),$

其中g为标准重力，ρ和ρ'分别是二种流体的密度（ρ > ρ‘）。第一项的$(\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')$因子是阿特伍德数。

重力波的范围

若波长较大（波数k = 2π/λ较小），主要会受第一项，重力波的影响。

若到极限时，波的群速度会是相速度的一半。若跟随著某一个波群中的某一个波峰前进，会看到波在后面出现，成长，最后会在波群的前面消失。

表面张力波范围

若波长较小（波数较大，例如在水-空气介面中，波数到达2 mm)，是表面张力波，情形恰好相反。跟随著某一个波群中的某一个波峰前进，会看到波在前面出现，成长，最后会在波群的后面消失。在极限时，群速度会是相速度的1.5倍。

相速度的最小值

在上述两种极端条件之间，存在一个点，表面张力波产生的色散会和重力产生的色散相抵消。在该波长下，群速会等于相速，没有色散。在该波长下，重力-表面张力波的相速有极小值。若波长远大于临界波长λ_m的波主要会受到表面张力影响，波长远大于该值的波主要会受到重力影响。波长和最小相速度c_m的关系如下：

$\lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.$

针对空气–水的界面，λ_m约为1.7 cm（0.67英寸），c_m为0.23 m/s（0.75 ft/s）.。

若小石头或是水滴落入液面，涟漪会以同心圆往外扩散，最后水面会静止。涟漪的同心圆会出现焦散，对应最小相速

原理

理查德·费曼曾提过：“[水波]是每一个人都可以看到的现象，也在基础教育中用来做为波的例子[......]，但也是最坏的例子，[......]波可能会出现的复杂问题，在水波中都可可能出现。”。在重力-表面张力波的色散关系中，也会有类似的情形。

一般会假设重力-表面张力波的能量来源有三个：重力、表面张力及流体动力学。前两个是势能。在有关重力的部份，一般分析会假设流体的密度是定值（不可压缩性），也会假设重力是定值（水波的高低还不足以造成重力显著变化的程度）。有关表面张力，会假设表面的高度变化很小，针对一般水波，上述二个假设都可以成立。

能量来源的第三个是流体的动能，这部份最复杂，需要用流体动力学的技巧。此处会再假设不可压缩性（若波的速度远小于介质中声速时成立），流场本身是保守向量场，因此流位流。

相关条目

• 毛细现象
• 水波色散
• 流体管
• 波涛
• 两相流
• Airy波理论

参考资料

• Longuet-Higgins,M. S. The generation of capillary waves by steep gravity waves. Journal of Fluid Mechanics. 1963, 16 (1): 138–159. Bibcode:1963JFM....16..138L. ISSN 1469-7645. doi:10.1017/S0022112063000641. 
• Lamb, H. Hydrodynamics 6th. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-45868-9. 
• Phillips, O. M. The dynamics of the upper ocean 2nd. Cambridge University Press. 1977. ISBN 0-521-29801-6. 
• Dingemans, M. W. Water wave propagation over uneven bottoms. Advanced Series on Ocean Engineering 13. World Scientific, Singapore. 1997: 2 Parts, 967 pages. ISBN 981-02-0427-2. 
• Safran, Samuel. Statistical thermodynamics of surfaces, interfaces, and membranes. Addison-Wesley. 1994. 
• Tufillaro, N. B.; Ramshankar, R.; Gollub, J. P. Order-disorder transition in capillary ripples. Physical Review Letters. 1989, 62 (4): 422–425 [2019-11-26]. Bibcode:1989PhRvL..62..422T. PMID 10040229. doi:10.1103/PhysRevLett.62.422. （原始内容存档于2017-09-22）. 

外部链接

• Capillary waves entry at sklogwiki （页面存档备份，存于互联网档案馆）