螺旋曲面

螺旋曲面可视为一个线段沿著垂直于其中点的直线，匀速螺旋上升时扫过的曲面，可视为是螺旋线的立体版本，是在平面及悬链曲面后，第三个已知的极小曲面。

描述

螺旋曲面曾在1774年及1776年分别由莱昂哈德·欧拉及Jean Baptiste Meusnier描述过^[1]，其英文Helicoid可以看出它和螺旋线（helix）之间的相关性：针对螺旋曲面上的每一点，都存在一个通过该点的螺旋线，且整条螺旋线都落在螺旋曲面上。若仔细的观察螺旋曲面，且螺旋曲面够长的话，会发现若选定一个小区域的曲面，在螺旋曲面的前方及后方至少各会找到一个曲面和原曲面平行。

螺旋曲面也是直纹曲面（及正劈锥曲面（英语：Right conoid）），表示它可以表示为一条直线在指定方式移动及转动下产生的轨迹。而针对螺旋曲面上的每一点，都存在一条在螺旋曲面上的直点通过该一点。欧仁·查尔斯·加泰兰（英语：Eugène Charles Catalan）在1842年证明了只有螺旋曲面和平面是同时为直纹曲面及最小曲面的曲面^[2]。

螺旋曲面和悬链曲面是属于螺旋-悬链曲面极小曲面族的成员之一。

螺旋曲面的形成方式类似阿基米德式螺旋抽水机，但在各方面延伸到无限大，可以用以下笛卡儿坐标系下的参数式表示：

x=\rho \cos(\alpha \theta ),\

y=\rho \sin(\alpha \theta ),\

z=\theta ,\

其中ρ和θ范围由负无限大到正无限大，而α为常数。若α为正值，螺旋曲面为逆时针螺旋，反之则为顺时针螺旋。

螺旋曲面的主曲率为 $\pm 1/(1+\rho ^{2})\$ ，其主曲率的和为其平均曲率（数值为零，因此为极小曲面），主曲率的乘积为高斯曲率。

螺旋曲面和平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 同胚。若要确认这一点，可以将α由原先的数值连续的减到零，在每一个α数值下，都可以找到一个对应的螺旋曲面。当α为零时，螺旋曲面变成一个垂直的平面。

若令h为z方向的最大值，而R为半径，则螺旋曲面的面积为 $\pi [R{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})+h^{2}*\ln((R+{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})/h)]$ 。

螺旋曲面和悬链曲面

螺旋曲面和悬链曲面是局部等距的曲面。

参考资料

^ A. T. Fomenko. Minimal Surfaces, Stratified Multivarifolds, and the Plateau Problem. American Mathematical Soc. 21 February 1991: 71–. ISBN 978-0-8218-9827-7.
^ Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin Contributor A. A. Tuzhilin Published by AMS Bookstore, 1991 ISBN 0-8218-4552-7, ISBN 978-0-8218-4552-3, p. 33

外部链接

Interactive 3D Helicoid plotter using Processing (with code)
Hazewinkel, Michiel (编), Helicoid, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
WebGL-based Interactive 3D Helicoid （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[Fomenko1991-1] A. T. Fomenko. Minimal Surfaces, Stratified Multivarifolds, and the Plateau Problem. American Mathematical Soc. 21 February 1991: 71–. ISBN 978-0-8218-9827-7.

[2] Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin Contributor A. A. Tuzhilin Published by AMS Bookstore, 1991 ISBN 0-8218-4552-7, ISBN 978-0-8218-4552-3, p. 33

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描述

螺旋曲面和悬链曲面

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