蒙日圆

法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$。这一结论被称为蒙日圆。

证明

设$F_{1},F_{2}$分别为椭圆的左右焦点，焦距为$c$。设点$M,N$分别为点$F_{1}$关于$PA$，$F_{2}$关于$PB$的对称点。由椭圆的光学性质知$F_{2}$，$A$，$M$及$F_{1}$，$B$，$N$分别三点共线，由椭圆定义有$MF_{2}=NF_{1}=2a$。设$F_{1}M$交直线$PA$于点$Q$，$F_{2}N$交直线$PB$于点$S$，分别延长$MF_{1}$，$NF_{2}$交于点$R$，则$OQ={\frac {1}{2}}MF_{2}={\frac {1}{2}}NF_{1}=OS=a$，$OR={\frac {1}{2}}F_{1}F_{2}=c$。在矩形$PQRS$中，由平面几何知识易知$OP^{2}+OR^{2}=OQ^{2}+OS^{2}$，于是$OP^{2}=OQ^{2}+OS^{2}-OR^{2}=a^{2}+b^{2}$。

在双曲线中的结论

与双曲线${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)$相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是$x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}$。

在抛物线中的结论

与抛物线$y^{2}=2px(p>0)$相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是$x=-{\frac {p}{2}}$(可以看成是半径无穷大的圆)。