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葛立恒数 由美国 数学家罗纳德·葛利恒 提出，曾经被视为在正式数学证明 中出现过最大的数，它大得连高德纳箭号表示法 也难以简单表示，而必须使用64层高德纳箭号表示法才表示得出来。马丁·加德纳 于1977年11月在美国科学人杂志 的“数学游戏”专栏将此数刊登出来，1980年被金氏世界纪录 定为在正式数学证明 中出现过最大的数。
一个将三维立方体的边，著上红蓝二色的例子。此例中恰存在一个“四顶点 共平面且单色的完全子图”，子图绘于三维立方体的下方。注意到若将此子图的下方改成蓝色，则此例将不再含有“四顶点共平面且单色的完全子图”，也就提供了一个反例，证明
N
∗
{\displaystyle N^{*}}
葛立恒数与拉姆齐理论 有关：考虑一个
n
{\displaystyle n}
超立方体 ，在连结所有顶点 后，将形成一个
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
顶点 的完全图 。将这个图的每条边填上红色或蓝色。求
n
{\displaystyle n}
在1971年Graham与Rothschild证明了此题之解
N
∗
{\displaystyle N^{*}}
6
≤
N
∗
≤
N
{\displaystyle 6\leq N^{*}\leq N}
N
{\displaystyle N}
F
7
(
12
)
=
F
(
F
(
F
(
F
(
F
(
F
(
F
(
12
)
)
)
)
)
)
)
{\displaystyle F^{7}(12)=F(F(F(F(F(F(F(12)))))))}
高德纳箭号表示法 ，
F
{\displaystyle F}
F
(
n
)
=
2
↑
n
3
{\displaystyle F(n)=2\uparrow ^{n}3}
康威链式箭号表示法 也可以表示此数的大略范围，此数介于
4
→
2
→
8
→
2
{\displaystyle 4\rightarrow 2\rightarrow 8\rightarrow 2}
2
→
3
→
9
→
2
{\displaystyle 2\rightarrow 3\rightarrow 9\rightarrow 2}
[ 1]
N
∗
{\displaystyle N^{*}}
2
↑↑
2
↑↑
(
3
+
2
↑↑
8
)
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow (3+2\uparrow \uparrow 8)}
[ 2]
N
″
=
(
2
↑↑
5138
)
×
(
(
2
↑↑
5140
)
↑↑
(
2
×
2
↑↑
5137
)
)
≪
2
↑↑
(
2
↑↑
5138
)
{\displaystyle N''=(2\uparrow \uparrow 5138)\times ((2\uparrow \uparrow 5140)\uparrow \uparrow (2\times 2\uparrow \uparrow 5137))\ll 2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 5138)}
[ 3] [ 4]
N
∗
{\displaystyle N^{*}}
13
≤
N
∗
≤
N
″
{\displaystyle 13\leq N^{*}\leq N''}
葛立恒数
G
{\displaystyle G}
N
{\displaystyle N}
G
{\displaystyle G}
f
64
(
4
)
{\displaystyle f^{64}(4)}
f
(
n
)
=
3
↑
n
3
{\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3}
科学人杂志 [ 5]
定义函数
f
(
n
)
=
3
↑
n
3
=
3
[
n
+
2
]
3
=
3
→
3
→
n
{\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3=3[n+2]3=3\rightarrow 3\rightarrow n}
高德纳箭号表示法 、超运算 、康威链式箭号表示法 ），则葛立恒数可使用叠代函数 表示为
f
64
(
4
)
{\displaystyle f^{64}(4)}
虽然葛立恒数不可以用康威链式箭号表示法很方便地表达，但康威链式箭号表示法能为它简单地定上下界：
3
→
3
→
64
→
2
<
{\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<}
<
3
→
3
→
65
→
2
{\displaystyle <3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}
使用高德纳箭号表示法来表示葛立恒数：
G
=
3
↑
3
↑
3
↑
⋅
⋅
⋅
3
↑↑↑↑
3
⋅
⋅
⋅
3
3
3
⏟
64
layers
=
3
↑↑
⋯
⋯
⋯
⋯
↑
⏟
3
↑↑
⋯
⋯
⋯
↑
⏟
⋮
⏟
3
↑↑
⋯
↑
⏟
3
↑↑↑↑
3
3
3
3
}
64
layers
{\displaystyle G=\underbrace {3\uparrow ^{3\uparrow ^{3\uparrow ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}\cdot }\cdot }\cdot }3}3}3} _{64{\text{ layers}}}=\left.3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{\displaystyle 3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{\displaystyle \underbrace {\qquad \vdots \qquad } _{\displaystyle 3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow } _{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}3}}3}3\right\}64{\text{ layers}}}
利用超运算 ，葛立恒数G 可以表示为：
3
[
3
[
3
[
⋯
3
[
3
[
3
⏟
64
[
6
]
3
+
2
]
3
+
2
]
3
⋯
]
3
+
2
]
3
+
2
]
3
{\displaystyle \underbrace {3[3[3[\cdots 3[3[3} _{64}[6]3+2]3+2]3\cdots ]3+2]3+2]3}
其中，
64
{\displaystyle 64}
G 值需要经过64步，首先从最内层开始计算：
g
1
=
3
[
6
]
3
=
3
[
5
]
(
3
[
5
]
3
)
=
3
[
4
]
(
3
[
4
]
(
3
[
4
]
⋯
(
3
[
4
]
(
3
[
4
]
3
⏟
3
[
5
]
3
)
)
⋯
)
)
{\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=\underbrace {3[4](3[4](3[4]\cdots (3[4](3[4]3} _{3[5]3}))\cdots ))}
让：
X
=
3
[
5
]
3
=
3
[
4
]
(
3
[
4
]
3
)
=
3
[
4
]
(
3
[
3
]
(
3
[
3
]
3
)
)
=
3
[
4
]
(
3
[
3
]
27
)
{\displaystyle X=3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4](3[3](3[3]3))=3[4](3[3]27)}
=
3
[
4
]
7625597484987
=
3
[
3
]
3
[
3
]
⋯
[
3
]
3
⏟
7625597484987
=
3
3
.
.
.
3
⏟
7625597484987
{\displaystyle =3[4]7625597484987=\underbrace {3[3]3[3]\cdots [3]3} _{7625597484987}=\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} _{7625597484987}}
迭代幂次 ）
g
1
=
3
[
6
]
3
=
3
[
5
]
(
3
[
5
]
3
)
=
3
[
5
]
X
=
3
[
4
]
3
[
4
]
⋯
[
4
]
3
⏟
X
=
3
3
.
.
.
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
⋮
⏟
3
}
X
{\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\right\}X}
给定函数：
f
(
n
)
=
3
[
n
+
2
]
3
{\displaystyle f(n)=3[n+2]3}
例如：
f
(
1
)
=
3
[
3
]
3
,
f
(
2
)
=
3
[
4
]
3
{\displaystyle f(1)=3[3]3,\ f(2)=3[4]3}
g
1
=
f
(
4
)
=
3
[
6
]
3
=
3
[
5
]
X
=
3
[
4
]
3
[
4
]
⋯
[
4
]
3
⏟
X
=
3
3
.
.
.
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
⋮
⏟
3
}
X
{\displaystyle g_{1}=f(4)=3[6]3=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\right\}X}
然后计算g2 ：
g
2
=
f
2
(
4
)
=
f
(
f
(
4
)
)
=
3
[
g
1
+
2
]
3
{\displaystyle g_{2}=f^{2}(4)=f(f(4))=3[g_{1}+2]3}
接著计算：
g
3
=
f
(
f
2
(
4
)
)
=
3
[
g
2
+
2
]
3
{\displaystyle g_{3}=f(f^{2}(4))=3[g_{2}+2]3}
⋮
⋮
{\displaystyle \vdots \vdots }
g
63
=
f
(
f
62
(
4
)
)
=
3
[
g
62
+
2
]
3
{\displaystyle g_{63}=f(f^{62}(4))=3[g_{62}+2]3}
最后：
G
=
g
64
=
f
64
(
4
)
=
f
(
f
(
⋯
f
⏟
64
(
4
)
⋯
)
)
=
3
[
g
63
+
2
]
3
{\displaystyle G=g_{64}=f^{64}(4)=\underbrace {f(f(\cdots f} _{64}(4)\cdots ))=3[g_{63}+2]3}
一般来说：
g
n
=
3
[
g
n
−
1
+
2
]
3
{\displaystyle g_{n}=3[g_{n-1}+2]3}
其中：
f
2
(
n
)
=
f
(
f
(
n
)
)
,
f
3
(
n
)
=
f
(
f
(
f
(
n
)
)
)
,
{\displaystyle f^{2}(n)=f(f(n)),\ f^{3}(n)=f(f(f(n))),}
...
69789 01699 96590 70368 75647 69571 41995 17294 68405 82682
71081 20793 88857 60678 08905 76605 97351 28204 06609 18730
71084 83992 11311 79579 18089 16067 30297 76868 73493 26380
38255 18970 12211 05348 18861 41584 87485 19200 98526 10652
52039 48232 20737 11493 41083 91687 37854 40379 86033 68448
47205 27292 48390 75786 66178 05529 41415 71193 66603 08189
28819 36678 77414 82317 80172 81269 34985 73578 32709 50758
57659 19749 47039 19315 29675 96669 23404 88030 23624 47049
10353 17809 08226 11674 69507 74641 91287 72824 43305 83239
50925 25499 35509 25261 68572 45956 57413 17934 41675 01485
02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521
43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780
38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092
91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080
25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560
43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887
17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509
27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508
94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380
03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387.
事实上，对于所有正整数
n
>
500
{\displaystyle n>500}
3
[
4
]
n
{\displaystyle 3[4]n}
![{\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3=3[n+2]3=3\rightarrow 3\rightarrow n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c205135c5868714565597ad7dd3312712970caf5)
![{\displaystyle \underbrace {3[3[3[\cdots 3[3[3} _{64}[6]3+2]3+2]3\cdots ]3+2]3+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac037f93f36cc009e995269c9a3863bd50cb217c)
![{\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=\underbrace {3[4](3[4](3[4]\cdots (3[4](3[4]3} _{3[5]3}))\cdots ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcc8ab48752a37e4b38010563d8da8b2323f16a)
![{\displaystyle X=3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4](3[3](3[3]3))=3[4](3[3]27)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbe2dd179e76e0a303b330e9abc5b2bdb2266d1)
![{\displaystyle =3[4]7625597484987=\underbrace {3[3]3[3]\cdots [3]3} _{7625597484987}=\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} _{7625597484987}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70b65cb3c353c26f8865446ff050f0c91346056)
![{\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\right\}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2bc62d8e680607150ff4cbb6fd720780815c26)
![{\displaystyle f(n)=3[n+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba593e9542483f155f2a5215216c17f1da5de6c3)
![{\displaystyle f(1)=3[3]3,\ f(2)=3[4]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326a0c4ee15bd3ca47074ff8a29a1cc357753395)
![{\displaystyle g_{1}=f(4)=3[6]3=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\right\}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de8bd018fd73e0926241102f0eb481d02c2f1d5)
![{\displaystyle g_{2}=f^{2}(4)=f(f(4))=3[g_{1}+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6903dae68a064b44d65f0b44ba1874861ff8c892)
![{\displaystyle g_{3}=f(f^{2}(4))=3[g_{2}+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68374d7566e856889bace2b6c3f9b443a9610a23)
![{\displaystyle g_{63}=f(f^{62}(4))=3[g_{62}+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80938fc345817165fadb37a1d4b7abf13f75c43f)
![{\displaystyle G=g_{64}=f^{64}(4)=\underbrace {f(f(\cdots f} _{64}(4)\cdots ))=3[g_{63}+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367691f36ff609b7a50eab6dd09fd0d1925cf2d7)
![{\displaystyle g_{n}=3[g_{n-1}+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdced4a679ab6f725a7f0bc8d13c1e658c018ca)
![{\displaystyle 3[4]n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012f7fe889ecc78f826dbde8268958175922f4a2)
[math.CO].
