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色散关系

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光在棱镜折射是由于色散

物理科学电机工程学中,色散关系描述波在介质中传播的色散现象的性质。色散关系将波的波长波数与其频率建立了联系。由这组关系,波的相速度群速度有了方便的确定介质中折射率的表达式。克拉莫-克若尼关系式可以描述波的传播衰减的频率依赖性,这关系比与几何相关和与材料相关的色散关系更具一般性。

色散的原因可能是几何边界条件(波导、浅水)或是波与传输介质间的相互作用。基本粒子(被认为是物质波)即使在没有集合约束和其他介质存在下也会有非平凡的色散关系。

在存在色散的情况下,波速不再唯一定义,从而产生了相速度群速度的区别。

色散

当不同波长的平面波表现出不同的传播速度时,色散会发生,如此造成混合各种波长的波包渐渐地在空间中扩展开来。平面波的速率v为波长的函数:

波速、波长、频率f之间具有恒等式:

函数f(λ)指出了该介质中的色散关系。色散关系更常用角频率波数来表示。上述式子可改写为

在此ω成为k的函数。使用ω(k)来描述色散关系已经成为一种标准写法,因为相速度 ω/k群速度 ∂ω/∂k 可以轻松地从这样写法的色散关系中求得。

因此所关注的平面波可写为如下数学式:

其中

A是波的振幅
A0 = A(0,0),
x是波传递方向上的任一特定位置,以及
t是描述波的任一特定时间。

真空中的平面波

真空中的平面波是波传递最简单的例子:无几何上的限制,无传导介质的交互作用。

电磁波

对真空中的电磁波而言,角频率与波数呈正比:

这是“线性”的色散关系。在此情形下,相速度与群速度乃是相同的:

两者皆为c,真空中的光速,为与频率无关的常数。

德布罗意色散关系

自由空间中,日常生活常见物体其动能动量之间的色散关系图。

粒子的总能量动量质量透过如下相对论关系连结:

 [1]

其中静质量

当静质量m为零时,比如光子的例子:

又静质量不为零的粒子,当其接近光速时,pc项远大于mc2项,因此关系式可趋近于E = pc。其在非相对论极限,也就是速度远小于光速c的情形,可趋近于如下关系式:

此情形下,是常数,而是常见的动能,可以动量来写出关系式。

从近光速的例子过渡到低速度极限,可看到Ep的关系是从p转成p2,在垂直轴跟水平轴皆取对数log的色散关系图中可看出斜率的改变。

基本粒子、原子核、原子,甚至是分子,皆有物质波的波动表现。根据描述物质波的“德布罗意关系”,能量E与角频率ω之间以及动量p与波数k之间皆为正比关系,比值为约化普朗克常数ħ:

相应地,角频率与波数之间也可透过色散关系连结。在非相对论极限(低速度极限的牛顿力学)条件下,利用能量(动能)与动量的关系式:

此处省去常数mc2的效应。等式左右分别代入德布罗意关系,可得色散关系:

频率与波数的关系

当讨论到介质的折射性质而不是吸收性质,亦即关注焦点为折射率实部,则常会提及“色散关系”—角频率与波数的函数关系。在粒子的情形,改由相对应的能量与动量的函数关系来描述。

波动与光学

“色散关系”一词源自于光学。让光穿过折射率不为常数的介质则有办法使得光速与波长相依;另外的方法是使用非均匀介质中的光,比如波导。在此情形下,波形会随著时间扩展开来,窄脉冲波会变成较宽的脉冲波。在这些材料中,群速度[2],对应到脉冲包络线峰值的传递速度,并与相速度不同。[3]

深水波

深水的表面重力波的频率色散。红点以相速度移动,而绿点以群速度移动。在深水的情形,相速度为群速度两倍。一同出发的红、绿点,当红点走完图片宽度的全程时,绿点方走一半。

水波的色散关系常写为

其中g重力造成的加速度。深水的常见定义为水深大于波长之半[4]。在此情形下,相速度为

而群速度为

弦波

非色散横波的双频率拍频。既然此波为非色散,则相速度(红点行进速度)等于群速度(绿点行进速度)。

对一条理想弦而言,色散关系可写为

其中T为弦的张力μ为弦每单位长度的质量。

如同真空中的电磁波,理想弦为非色散介质,其相速度与群速度相等,并且与振动频率无关。

至于非理想弦则需考量到硬度的影响,色散关系变为

其中是与弦有关的常数。

固态物理

固态物理领域,电子的色散关系占有重要的角色。晶体的周期性意味著:对一给定的动量存在有多种可能的能阶,而有些则是不论什么样的动量都不可能会具有的能量。所有可能的能量与动量的组合即为一物质的能带结构。能带结构的性质定义了一物质是绝缘体半导体,抑或是导体

声子

声子之于声波一如光子之于光波:其为携带波动能量的量子。声子的色散关系也是重要且非平凡的。许多系统都显示出声子存在于两个分离的能带。声子尚可分为光学声子支与声学声子支。

电子显微术

关于穿透式电子显微镜中的高能电子(例如200 keV),收敛束电子绕射(Convergent beam electron diffraction, CBED) 型态在高阶劳厄区英语Laue zone(higher order Laue zone, HOLZ)谱线的能量相依性,允许研究者能对晶体三维色散表面的横断面做直接“成像”[5]。这种动态效应英语Dynamical theory of diffraction可用于晶格参数的准确测量、电子束能量,近期更应用在电子业上。

历史

艾萨克·牛顿研究过棱镜的折射现象。然而牛顿却没有认出色散关系与不同材料的相关性;假使有认出,他则可能发明出消色差透镜[6]

水波的色散关系是由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于1776年研究得到。[7]

在几篇举足轻重的论文中,色散关系与各种波及粒子散射理论英语Scattering theory中的因果律被连系了起来,使得克拉莫-克若尼关系式(1926年-1927年间)的通则变得重要。[8]

参见

参考文献

  1. ^ Taylor. Classical Mechanics. University Science Books. 2005: 652. ISBN 1-891389-22-X. 
  2. ^ F. A. Jenkins and H. E. White. Fundamentals of optics. New York: McGraw-Hill. 1957: 223. ISBN 0-07-032330-5. 
  3. ^ R. A. Serway, C. J. Moses and C. A. Moyer. Modern Physics. Philadelphia: Saunders. 1989: 118. ISBN 0-534-49340-8. 
  4. ^ R. G. Dean and R. A. Dalrymple. Water wave mechanics for engineers and scientists. Advanced Series on Ocean Engineering 2. World Scientific, Singapore. 1991. ISBN 978-981-02-0420-4.  See page 64–66.
  5. ^ P. M. Jones, G. M. Rackham and J. W. Steeds. Higher order Laue zone effects in electron diffraction and their use in lattice parameter determination. Proceedings of the Royal Society. 1977, A 354: 197. 
  6. ^ Westphal, Never at rest cited from memory. Quite a funny anecdote, worth looking up: Newton dismissed reports of refraction indices at variance from his own because the author was a Jesuit.
  7. ^ A.D.D. Craik. The origins of water wave theory. Annual Review of Fluid Mechanics. 2004, 36: 1–28. Bibcode:2004AnRFM..36....1C. doi:10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118. 
  8. ^ John S. Toll. Causality and the dispersion relation: Logical foundations. Phys. Rev. 1956, 104 (6): 1760–1770. Bibcode:1956PhRv..104.1760T. doi:10.1103/PhysRev.104.1760. 

外部链接