维拉宿代数

维拉宿代数（Virasoro algebra）是单位圆上微分算子所组成的李代数的中心拓展，在复数域上的无限维李代数。这与仿射Kac-Moody代数关系密切（参看Sugawara构造）。Virasoro 代数的幺正表示描绘两维共形场论的对称性。

定义

维拉宿代数是一李代数，生成元是

• ${L_{n}:n\in \mathbb {Z} }$,
• c ，
• 符合：$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m+n}{\frac {(m^{3}-m)}{12}}c$

推导

维拉宿代数可以被认为是以下Witt 代数 的 中心拓展:

$[l_{m},l_{n}]=(m-n)l_{m+n}$,

$[{\bar {l}}_{m},{\bar {l}}_{n}]=(m-n){\bar {l}}_{m+n}$,

$[l_{m},{\bar {l}}_{n}]=0$.

对于一李代数$\ {\bf {g}}$, 其在复数域$\ {\bf {C}}$的 central extension$\ {\tilde {g}}$ 满足下列交换子:

$[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]_{\tilde {g}}=[x,y]_{g}+cp(x,y),$

$[{\tilde {x}},c]_{\tilde {g}}=0,$

$[c,c]_{\tilde {g}}=0,$

其中$\ {\tilde {x}},{\tilde {y}}\in {\tilde {g}},x,y\in g,c\in {\bf {C}},p:{\tilde {g}}\times {\tilde {g}}\rightarrow {\bf {C}}$. 由此定义, 维拉宿代数的生成元满足以下交换子

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+cp(m,n)$.

$p(m,n)$可以由以下条件决定:

• 交换子必须是反对易的, 所以$p(m,n)=-p(n,m)$
• 可以观察到, 如果定义以下生成元

${\hat {L}}_{n}=L_{n}+{\frac {cp(n,0)}{n}},n\neq 0$

${\hat {L}}_{0}=L_{0}+{\frac {cp(1,-1)}{2}},$

它们满足

$[{\hat {L}}_{n},{\hat {L}}_{0}]=nL_{n}+cp(n,0)=n{\hat {L}}_{n},$

$[{\hat {L}}_{1},{\hat {L}}_{-1}]=2L_{0}+cp(1,-1)=2{\hat {L}}_{0}.$

比较函数$p(m,n)$的定义可以得知,$p(1,-1)$与$p(n,0)$总是可以被设为0.

• 交换子满足雅可比恒等式,即

$\ 0=[[L_{m},L_{n}],L_{0}]+[[L_{n},L_{0}],L_{m}]+[[L_{0},L_{m}],L_{n}]$

	$\ =(m-n)cp(m+n,0)+ncp(n,m)-mcp(m,n)$
	$\ =(m+n)p(n,m)$

所以$p(n,m)=0$如果$n\neq -m$, 即唯一的非零 central extension为$p(n,-n)$且$|n|>=2$.

• 最后计算以下雅克比恒等式

$\ 0=[[L_{-n+1},L_{n}],L_{-1}]+[[L_{n},L_{-1}],L_{-n+1}]+[[L_{-1},L_{-n+1}],L_{n}]$

$\ =(-2n+1)cp(1,-1)+(n+1)cp(n-1,-n+1)+(n-1)cp(-n,n)$

可知$p(m,n)$满足以下递推公式

$\ p(n,-n)={\frac {n+1}{n-2}}p(n-1,-n+1)$

$\ ={\frac {n+1}{n-2}}{\frac {n}{n-3}}p(n-2,-n+2)$=...

$\ ={\frac {n+1}{n-2}}{\frac {n}{n-3}}...{\frac {4}{1}}p(2,-2)$

$\ ={n+1 \choose 3}{\frac {1}{2}}$

$\ ={\frac {1}{12}}(n+1)n(n-1),$

其中归一化条件为$p(2,-2)={\frac {1}{2}}$.综上所述, Witt algebra在复数域唯一非零的central extension, 即维拉宿代数的生成元满足以下交换子

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+c{\frac {1}{12}}(n+1)n(n-1)\delta _{m+n,0}$.

参考

• V.G. Kac: "Infinite dimensional Lie algebras", Cambridge University Press
• V.G. Kac / A.K. Raina : "Bombay Lectures on highest weight representations" , World Scientific, Singapore
• Di Francesco / Mathieu / Senechal : "Conformal field theory", Springer Verlag
• Wakimoto: "Infinite-dimensional Lie algebras" （日语书《无限次元环》的译本）, American Mathematical Society
• Ralph Blumenhagen/ Erik Plauschinn : "Introduction to conformal field theory: with applications to string theory", Springer Lecture notes in physics 779, Page 15