矩估计

在统计学中，矩估计（英语：method of moments）是估计总体母数的方法。首先推导涉及感兴趣的参数的总体矩（即所考虑的随机变量的幂的期望值）的方程。然后取出一个样本并从这个样本估计总体矩。接着使用样本矩取代（未知的）总体矩，解出感兴趣的参数。从而得到那些参数的估计。矩估计是英国统计学家卡尔·皮尔逊于1894年提出的。

方法

假设问题是要估计表征随机变量$W$的分布$f_{W}(w;\theta )$的$k$个未知参数$\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}$。如果真实分布（"总体矩"）的前$k$阶矩可以表示成这些$\theta$的函数:

$\mu _{1}\equiv E[W]=g_{1}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}),$

$\mu _{2}\equiv E[W^{2}]=g_{2}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}),$

$\vdots$

$\mu _{k}\equiv E[W^{k}]=g_{k}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}).$

设取出一大小为$n$的样本，得到$w_{1},\dots ,w_{n}$。对于$j=1,\dots ,k$，令

${\hat {\mu }}_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{j}$

为j阶样本矩，是$\mu _{j}$的估计。$\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}$的矩估计量记为${\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}$，由这些方程的解（如果存在）定义：

${\hat {\mu }}_{1}=g_{1}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}),$

${\hat {\mu }}_{2}=g_{2}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}),$

$\vdots$

${\hat {\mu }}_{k}=g_{k}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}).$

参见

• 广义矩估计
• 点估计
• 估计量的偏误