此条目页的主题是变分法中的结论。关于组合数学中的原理,请见“
抽屉原理”。
在数学中的位势论里,狄利克雷原理是关于在
中的某个区域
上的泊松方程
![{\displaystyle \Delta u+f=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab912246ab033dde2b7caaa6e060db68cf71d1df)
满足边界条件
- 在
上 ![{\displaystyle u=g\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007dc138541d350da0a01dc1126bf38ae09a12f0)
的解 u(x) 的刻画。原理说明,u(x) 是使得狄利克雷势能
![{\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08fef9cd6d5e71aa3a1977a082a1eb098436378)
最小的几乎处处二次可导,并且在边界
上满足
的函数
(如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话)。这个原理得名于德国数学家勒热纳·狄利克雷。
由于以上的狄利克雷积分是下有界的,因此必然存在一个下确界。黎曼和其他的数学家都认为下确界一定能够达到,直到魏尔斯特拉斯举出了一个无法达到下确界的泛函的例子。后来希尔伯特严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性。
证明
以下给出
时的证明[1]。假设 u 是使得
![{\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08fef9cd6d5e71aa3a1977a082a1eb098436378)
最小的并且几乎处处二次可导,并且在边界
上满足
的函数
,那么对于任意一个满足边界条件的函数
,任意正实数
都有:
![{\displaystyle E[u+\varepsilon w]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u+\varepsilon \nabla w|^{2}-uf-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant \int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}-uf\right)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280e74883633a7264eb391f1b1e9b7e65910ca0f)
即
![{\displaystyle \int _{\Omega }\left(\varepsilon \nabla u\cdot \nabla w+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}|\nabla w|^{2}-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e48ede31643e391da4a15ca844d8ecbd720a4e)
上式左侧是一个关于
的二次多项式,并且在
的时候取到最小值,所以有:
![{\displaystyle \int _{\Omega }\left(\nabla u\cdot \nabla w-wf\right)\,\mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6015fc5be0cce85f2a3ff9686112b839855c8c0)
另一方面,由于函数
满足边界条件,即在
上满足
,因此有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{\partial \Omega }w\left(\nabla u\cdot \mathbf {n} \right)\,\mathrm {d} \sigma =\int _{\Omega }\operatorname {div} \left(w\cdot \nabla u\right)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }\left(w\Delta u+\nabla u\cdot \nabla w\right)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }w\left(\Delta u+f\right)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50f27511cb10cc0580ccda53e85643c22f222df)
这个结果对所有满足边界条件的函数
都成立,因此根据变分法基本引理,可以得到
参见
参考来源
- ^ Mark.A.Prinsky. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems With Applications. Waveland Pr Inc. 2003. ISBN 978-1577662754.
- Courant, R., Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer, Interscience, 1950
- Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 978-0821807729
- 埃里克·韦斯坦因. Dirichlet's Principle. MathWorld.