本条目中，向量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如，位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
不同电荷量
q
{\displaystyle q}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
由于磁场的影响，电子射束 的移动路径呈圆形。电子经过的路径会有紫色光发射出来。这是因为电子与玻璃球内的气体分子碰撞而产生的现象。 在电动力学 里，劳仑兹力 （Lorentz force）是运动于电磁场 的带电粒子 所感受到的作用力。劳仑兹力是因荷兰物理学者亨德里克·劳仑兹 而命名。根据劳仑兹力定律 ，劳仑兹力可以用方程式，称为劳仑兹力方程式 ，表达为
F
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
其中，
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
q
{\displaystyle q}
电荷量 ，
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
电场 强度，
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
速度 ，
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
磁感应强度 。
劳仑兹力定律是一个基本公理 ，不是从别的理论推导出来的定律，而是由多次重复完成的实验所得到的同样的结果。
感受到电场的作用，正电荷会朝著电场的方向加速；但是感受到磁场的作用，按照右手定则 ，正电荷会朝著垂直于速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
劳仑兹力方程式的
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
q
v
×
B
{\displaystyle q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
[ 1]
劳仑兹力方程式的积分形式为
F
=
∫
V
(
ρ
E
+
J
×
B
)
d
τ
{\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {V} }(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\ \mathrm {d} \tau }
其中，
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
ρ
{\displaystyle \rho }
电荷密度 ，
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
电流密度 ，
d
τ
{\displaystyle \mathrm {d} \tau }
劳仑兹力密度
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
f
=
ρ
E
+
ρ
v
×
B
=
ρ
E
+
J
×
B
{\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\rho \mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }
亨德里克·劳仑兹 1892年，荷兰 物理学家亨德里克·劳仑兹 提出劳仑兹力的概念[ 2] 詹姆斯·马克士威 的1861年论文《论物理力线 》里的公式（77）：
P
=
μ
γ
d
y
d
t
−
μ
β
d
z
d
t
+
d
F
d
t
−
d
Ψ
d
x
{\displaystyle P=\mu \gamma {\frac {dy}{dt}}-\mu \beta {\frac {dz}{dt}}+{\frac {dF}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dx}}}
Q
=
μ
α
d
z
d
t
−
μ
γ
d
x
d
t
+
d
G
d
t
−
d
Ψ
d
y
{\displaystyle Q=\mu \alpha {\frac {dz}{dt}}-\mu \gamma {\frac {dx}{dt}}+{\frac {dG}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dy}}}
R
=
μ
β
d
x
d
t
−
μ
α
d
y
d
t
+
d
H
d
t
−
d
Ψ
d
z
{\displaystyle R=\mu \beta {\frac {dx}{dt}}-\mu \alpha {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dz}}}
其中，
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
R
{\displaystyle R}
μ
{\displaystyle \mu }
磁导率 ，
d
x
d
t
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}
d
y
d
t
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}
d
z
d
t
{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}}
导电体 的移动速度的三个分量，
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
磁场强度 的三个分量，
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
磁矢势 的三个分量，
Ψ
{\displaystyle \Psi }
电势 。
后来，在他的1864年论文《电磁场的动力学理论 》里，马克士威将这公式列为马克士威方程组 的八个原本方程式中的方程式（D）:
E
=
v
×
(
μ
H
)
−
∂
A
∂
t
−
∇
ϕ
{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {v} \times (\mu \mathbf {H} )-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }
其中，
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
μ
{\displaystyle \mu }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
ϕ
{\displaystyle \phi }
很明显地，马克士威版是现代版的前导。两个版本的差别为：
马克士威版并没有特意地提到电荷。马克士威称物理量
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
电动力 （electromotive force ）。这英文原文与电动势 的英文原文相同。很多物理学家都对英文原文表示意见，认为会造成困惑，是个相当不精确的术语。从方程式形式和单位分析方面来看，这物理量对应于现代的物理量单位电荷的劳仑兹力。
马克士威版包含有现在称为电场的项目，以电势
ϕ
{\displaystyle \phi }
磁向量势
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
取旋度 于这表达式，就可以得到法拉第-马克士威方程式 [ 1]
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
因此，这表达式等价于法拉第-马克士威方程式。尽管劳仑兹力方程式来自于原本的一条马克士威方程式，现在，经过奥利弗·黑维塞 重新表述后的劳仑兹力方程式，不再被视为马克士威方程组中的一员，而成为伴随马克士威方程组的一条独立基要的定律。
当马克士威方程组描绘带电粒子怎样产生电磁场的同时，劳仑兹力方程式描绘了移动于电磁场的带电粒子所感受到的电磁力。这使得整个电磁动力的图画得以完整。在一个复杂的物理系统里，带电粒子可能还会感受到别种作用力，像万有引力 或核力 。马克士威方程组并非与这些作用力完全无关；而是通过带电粒子或电流密度与这些作用力耦合。
对于实际的物质，在原则上和计算的复杂程度上，劳仑兹力方程式都不足以描述一群粒子的物理行为。在物质介质里的带电粒子，必须同时地响应和生成电磁场。除此以外，还必须考虑到描述这一群粒子的运动的传输方程式，例如，波兹曼传输方程式 （Boltzmann equation ）、福克-普朗克方程式 [ 3] Fokker–Planck equation ）、纳维-斯托克斯方程式 、等等。请参阅磁流体力学 、超导现象 、恒星演化 、等等。在这些学术领域研究的科学家必须解析复杂的传输方程式，求得带电粒子在时间和空间方面的响应。
或许有些读者会认为这些理论只是靠著近似来处理一个大系综 的带电粒子。从更深的层面来看，带电粒子也会对非电磁力，像万有引力，核力或边界条件 等等，产生响应。
给予作用于粒子的劳仑兹力的公式，将这公式代入牛顿第二运动定律 ，可以得到粒子的运动方程式 。解析这运动方程式，就可以找到粒子的运动轨道。
移动于均匀磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
在一个简单的回旋加速器 内，均匀磁场是
B
=
B
0
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}}
q
{\displaystyle q}
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
F
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
将这公式代入牛顿第二运动定律 ，
m
a
=
q
v
×
B
{\displaystyle m\mathbf {a} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
其中，
m
{\displaystyle m}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
由于带电粒子的加速度与速度互相垂直，带电粒子呈圆周运动。假设粒子带有正电荷，则这公式的一般解答为
r
=
r
c
(
cos
ω
t
,
−
sin
ω
t
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} =r_{c}(\cos \omega t,\,-\sin \omega t,\,0)}
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
c
{\displaystyle r_{c}}
ω
=
q
B
/
m
{\displaystyle \omega =qB/m}
t
{\displaystyle t}
移动于朝著正上方的均匀磁场，负电荷的等速螺旋运动轨道。 朝著均匀磁场方向看，带电粒子会以反时针方向 ，呈等速圆周运动。给予初始速率
v
0
{\displaystyle v_{0}}
r
c
=
v
0
/
ω
=
m
v
0
/
q
B
{\displaystyle r_{c}=v_{0}/\omega =mv_{0}/qB}
这圆周半径称为回旋半径 （cyclotron radius ）或拉莫半径 （Larmor radius ）。
ω
=
q
B
/
m
{\displaystyle \omega =qB/m}
回旋频率 （cyclotron frequency ）。
带电粒子的动量
p
0
{\displaystyle p_{0}}
p
0
=
m
v
0
=
q
B
r
c
{\displaystyle p_{0}=mv_{0}=qBr_{c}}
假设粒子带有负电荷，则运动方向会逆反，改为顺时针方向 。
假设初始速度有一个z-分量
v
z
0
{\displaystyle v_{z0}}
螺旋运动 。
在均匀磁场内，带电粒子的漂移运动。（A）没有任何外力（B）加入外电场
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
地心引力 ，（D））磁场改为不均匀，
∇
B
{\displaystyle \nabla \mathbf {B} }
对于很多有意思的、比较复杂的实际案例，在磁场内运动的带电粒子（例如，电浆 的电子 或离子 ），可以分为两部分处理。这两部分的叠加 ，足以描述这带电粒子的物理行为。第一部分是速度比较快的，环绕著某一点的圆周运动。环绕之点称为导向中心（guiding center ）。另一部分是导向中心的漂移运动。其速度比较慢，会因不同种类的粒子而不同，又跟其电荷量、质量或温度有关。不同的漂移速度可能会造成电流或化学分离。
许多经典电磁学教科书会用劳仑兹力定律来定义电场和磁场。
假设检验电荷静止不动，
v
=
0
{\displaystyle \mathbf {v} =0}
F
=
q
E
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }
采用国际单位制 ，假设检验电荷的电量为1库仑 ，作用于检验电荷的劳伦兹力为1牛顿 ，则检验电荷感受到的电场为1牛顿／库仑。
假设电场为零，则作用于电荷
q
{\displaystyle q}
F
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
对于一条线电荷密度为
λ
{\displaystyle \lambda }
F
=
∫
C
v
×
B
d
q
=
∫
C
v
×
B
λ
d
ℓ
=
∫
C
I
×
B
d
ℓ
{\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \mathrm {d} q=\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \lambda \mathrm {d} \ell =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {I} \times \mathbf {B} \mathrm {d} \ell }
其中，
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
I
=
λ
v
{\displaystyle \mathbf {I} =\lambda \mathbf {v} }
假设电流是稳定电流，则可以将电流从积分内提出，用向量
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
F
=
I
∫
C
d
ℓ
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =I\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} }
这公式给出了，在磁场内，载流导线感受到的磁场力。
使用这公式和必欧-沙伐定律 ，就可以推导出安培力定律 （详尽细节，请参阅安培力定律 ）。
假设，磁场是均匀磁场，积分路径是垂直于磁场的直线，则
F
=
I
L
B
{\displaystyle F=ILB}
其中，
L
{\displaystyle L}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
采用国际单位制，假设检验电流为1安培 ，作用于载流导线的单位长度的劳仑兹力为1牛顿 /公尺 ，则检验电流感受到的磁场为1特斯拉 。
一条长度为
L
{\displaystyle L}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
许多发电机 的基本运作原理涉及动生电动势 概念。将导线移动于磁场，则会产生电动势 ，称为动生电动势 。如图右[ 4]
L
{\displaystyle L}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
q
{\displaystyle q}
F
l
o
r
e
n
t
z
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}}
F
l
o
r
e
n
t
z
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
在这里，劳仑兹力也是磁场力 。因为这磁场力的作用，正电荷会往导线的上端移动，负电荷会往导线的下端移动。在稳定平衡状态，这会感应出一个电场
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
=
−
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
电动势定义为造成开路电路的两个终端的电势差，对于每单位电荷所需做的功。所以，动生电动势
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
=
∫
L
F
l
o
r
e
n
t
z
q
⋅
d
ℓ
=
v
B
L
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{L}{\frac {\mathbf {F_{lorentz}} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=vBL}
在这个例子里，稳定平衡状态时的电流等于零。假设载流导线与其他原件连结成一个电路，则会因为动生电动势而产生电流。例如，将一个电阻
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
I
=
E
/
R
=
v
B
L
/
R
{\displaystyle I={\mathcal {E}}/R=vBL/R}
在时间
t
{\displaystyle t}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
一个以常速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
法拉第电磁感应定律阐明，穿过任意闭回路的磁通量 的变化率，与这回路的电动势成正比：
E
=
−
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
其中，
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
t
{\displaystyle t}
在时间
t
{\displaystyle t}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
Φ
B
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{B}(t)}
Φ
B
(
t
)
=
d
e
f
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle \Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} }
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
d
a
{\displaystyle d\mathbf {a} }
给予一个以常速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
全微分 是[ 5]
d
Φ
B
(
t
)
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
+
d
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
+
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
−
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
+
∫
Σ
t
o
t
a
l
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ
r
i
b
b
o
n
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+dt)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\\end{aligned}}}
； 其中，
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
Σ
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
Σ
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \Sigma (t+dt)}
−
Σ
(
t
)
{\displaystyle -\Sigma (t)}
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
∂
Σ
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t+dt)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
根据散度定理 和高斯磁定律 ，
∫
Σ
t
o
t
a
l
B
⋅
d
a
=
∫
V
t
o
t
a
l
∇
⋅
B
d
τ
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} d\tau =0}
其中，
V
t
o
t
a
l
{\displaystyle \mathbb {V} _{total}}
Σ
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
d
τ
{\displaystyle d\tau }
通过边缘曲面
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
∫
Σ
r
i
b
b
o
n
B
⋅
d
a
=
∫
∂
Σ
(
t
)
B
⋅
[
d
ℓ
×
(
v
d
t
)
]
=
∫
∂
Σ
(
t
)
[
(
v
d
t
)
×
B
]
⋅
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [d{\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} dt)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} dt)\times \mathbf {B} ]\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
所以，磁通量对于时间的全导数，或磁通量的变化率为
d
Φ
B
(
t
)
d
t
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
−
∫
∂
Σ
(
t
)
v
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
运动于移动的闭回路
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
q
{\displaystyle q}
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
w
=
u
+
v
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }
其中，
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
这电荷会感受到劳仑兹力
F
=
q
(
E
+
w
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )}
电动势
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
=
d
e
f
∫
∂
Σ
F
q
⋅
d
ℓ
=
∫
∂
Σ
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma }{\frac {\mathbf {F} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
根据法拉第电磁感应定律，
E
=
−
d
Φ
B
d
t
=
∫
∂
Σ
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
在计算积分时，闭回路
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
d
ℓ
{\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
d
Φ
B
(
t
)
d
t
=
−
∫
∂
Σ
(
E
+
v
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=-\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
令两个磁通量变化率的方程式相等，除去同有的移动的闭回路项目，则可得到
∫
∂
Σ
E
⋅
d
ℓ
=
−
∫
Σ
∂
B
∂
t
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} }
应用斯托克斯定理 ，
∫
∂
Σ
E
⋅
d
ℓ
=
∫
Σ
∇
×
E
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }
∫
Σ
(
∇
×
E
+
∂
B
∂
t
)
⋅
d
a
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {a} =0}
由于
Σ
{\displaystyle \Sigma }
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
这是马克士威-法拉第方程式 。由于这方程式的右手边是个对于时间的偏导数项目，只涉及固定的闭回路，不能用来计算移动中的闭回路。
用马克士威-法拉第方程式，通常对于时间的偏导数的诠释只限制为固定边界。而在另一方面，不论导线的闭回路是刚硬固定的、是在运动中、是在形变 过程中，不论磁场是不含时的或含时的，法拉第电磁感应定律都成立。但是，对于某些案例，法拉第电磁感应定律并不适用或使用起来很困难。这时候，必须使用劳仑兹力定律。详尽细节，请参阅法拉第电磁感应定律不适用案例 。
假设闭回路移动于不含时间的磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
定向 改变，由于微小元素
B
⋅
d
A
{\displaystyle \mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
对比前面所述状况，假设固定的闭回路处于含时磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
根据亥姆霍兹分解 （Helmholtz decomposition ），电场和磁场可以用电势
ϕ
{\displaystyle \phi }
磁向量势
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
其中∇为梯度，∇⋅ 为散度，∇× 为旋度 。
将这两个公式代入劳仑兹力方程式，则可得到
F
=
q
[
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
+
v
×
(
∇
×
A
)
]
{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]}
可以化简为
F
=
q
[
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
+
∇
(
v
⋅
A
)
−
(
v
⋅
∇
)
A
]
{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla (\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} \right]}
定义粒子的四维速度
u
β
{\displaystyle u_{\beta }}
u
β
=
d
e
f
(
u
0
,
u
1
,
u
2
,
u
3
)
=
γ
(
c
,
−
v
x
,
−
v
y
,
−
v
z
)
{\displaystyle u_{\beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ (u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\gamma (c,\,-v_{x},\,-v_{y},\,-v_{z})}
其中，
γ
{\displaystyle \gamma }
劳仑兹因子 ，
c
{\displaystyle c}
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},\,v_{y},\,v_{z})}
定义电磁场张量
F
α
β
{\displaystyle F^{\alpha \beta }}
F
α
β
=
d
e
f
[
0
−
E
x
/
c
−
E
y
/
c
−
E
z
/
c
E
x
/
c
0
−
B
z
B
y
E
y
/
c
B
z
0
−
B
x
E
z
/
c
−
B
y
B
x
0
]
{\displaystyle F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}
其中，
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
结合牛顿运动定律 与劳仑兹力定律在一起，以电磁场张量 写为反变形式 （contravariant form ）：
d
p
α
d
τ
=
q
u
β
F
α
β
{\displaystyle {\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{\alpha \beta }}
其中，
p
α
{\displaystyle p^{\alpha }}
四维动量 ，
τ
{\displaystyle \tau }
固有时 。
应用劳仑兹变换 ，电磁场张量可以从一个参考系
S
{\displaystyle S}
S
¯
{\displaystyle {\bar {S}}}
F
¯
μ
ν
=
Λ
μ
α
Λ
ν
β
F
α
β
{\displaystyle {\bar {F}}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }}
其中，
Λ
μ
α
{\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }}
Λ
ν
β
{\displaystyle {\Lambda ^{\nu }}_{\beta }}
换另一种方法，定义四维势
A
α
{\displaystyle A^{\alpha }}
A
α
=
d
e
f
(
ϕ
/
c
,
A
x
,
A
y
,
A
z
)
{\displaystyle A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z})}
其中，
ϕ
{\displaystyle \phi }
电势 ，
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
磁向量势 。
定义四维坐标
x
α
{\displaystyle x_{\alpha }}
x
α
=
d
e
f
(
c
t
,
−
x
,
−
y
,
−
z
)
{\displaystyle x_{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,-x,\,-y,\,-z)}
那么，电磁场张量为[ 1]
F
α
β
=
∂
A
β
∂
x
α
−
∂
A
α
∂
x
β
{\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}}
先计算四维力 （four-force ）的
μ
=
1
{\displaystyle \mu =1}
γ
d
p
1
d
t
=
d
p
1
d
τ
=
q
u
β
F
1
β
=
q
(
u
0
F
10
+
u
1
F
11
+
u
2
F
12
+
u
3
F
13
)
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}={\frac {dp^{1}}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{1\beta }=q\left(u_{0}F^{10}+u_{1}F^{11}+u_{2}F^{12}+u_{3}F^{13}\right)}
将电磁场张量的分量代入，可以得到
γ
d
p
1
d
t
=
q
(
u
0
(
E
x
c
)
+
u
2
(
−
B
z
)
+
u
3
(
B
y
)
)
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\left(u_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+u_{2}(-B_{z})+u_{3}(B_{y})\right)}
再将四维速度的分量代入，则会得到
γ
d
p
1
d
t
=
q
γ
(
c
(
E
x
c
)
+
v
y
B
z
−
v
z
B
y
)
=
q
γ
[
E
x
+
(
v
×
B
)
x
]
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\gamma \left(c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma [E_{x}+(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}]}
类似地，可以计算出四维力的
μ
=
2
{\displaystyle \mu =2}
μ
=
3
{\displaystyle \mu =3}
d
p
d
t
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
^ 1.0 1.1 1.2 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 204, 326, 417, 541. ISBN 0-13-805326-X ^ Darrigol, Olivier, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford, [England]: Oxford University Press: 327, 2000, ISBN 0-198-50593-0 ^ 福克-普朗克方程 . 维基百科，自由的百科全书. 2015-12-13 （中文） . ^ Tai L. Chow. Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006: pp. 172-175. ISBN 0-7637-3827-1 ^ Flanders, Harley. Differentiation under the integral sign. American Mathematical Monthly. Jun–Jul 1973, 80 (6): 615–627. doi:10.2307/2319163
National High Magnetic Field Laboratory的Java互动教学网页：劳仑兹力 。
![{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [d{\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} dt)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} dt)\times \mathbf {B} ]\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9bf013db477d4f760b8ffab60c2304b453c720b)
![{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a8cb8954da8ad9451ab18ed4b0fdc3a15ac32e)
![{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla (\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fd3adddbdfb95797d11ef6167ecda4efe3e0b9)
![{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\gamma \left(c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma [E_{x}+(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86439c13350462c759da37bb4d0bdbaac632d53d)
