法诺不等式

法诺不等式（Fano's inequality）也称为法诺引理（Fano lemma）是信息论中的一个定理，说明噪音信道中的平均信息损失和错误分类概率之间的关系。法诺不等式是罗伯特·法诺是1950年代于麻省理工学院教授博士讨论班的时候推导的，后来放在1961年编写的教科书中。

法诺不等式在信息论中，提供了解码器错误概率的下界。在统计学中，提供了密度估计时极小化极大风险的下界。

用符号 $H(\cdot )$表示熵， $H(X|Y)$ 表示随机变量X与Y之间的条件熵，${\tilde {X}}$表示对于X的分类，e表示分类错误的事件（$e=\{X\neq {\tilde {X}}\}$），法诺不等式是说

$H(X|Y)\leq H(e)+P(e)\log(|{\text{supp}}(X)|-1)$

这里 ${\text{supp}}(X)$ 是X可能取值（有限个）的集合。

参考资料

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• L. Birge, "Estimating a density under order restrictions: nonasymptotic minimax risk", Technical report, UER de Sciences Économiques, Universite Paris X, Nanterre, France, 1983.
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• L. Devroye, A Course in Density Estimation. Progress in probability and statistics, Vol 14. Boston, Birkhauser, 1987. ISBN 0-8176-3365-0, ISBN 3-7643-3365-0.
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• R. Fano, Fano inequality （页面存档备份，存于互联网档案馆） Scholarpedia, 2008.
• I. A. Ibragimov, R. Z. Has′minskii, Statistical estimation, asymptotic theory. Applications of Mathematics, vol. 16, Springer-Verlag, New York, 1981. ISBN 0-387-90523-5